Niveau Reprise d'études

polynome de degrés 4

Posté par
disz 23-07-21 à 10:05

Bonjour
Voila  l'exercice  que je viens de faire et ma correction semble un peu  byzarre . J'attend votre avis
Soit P = x^4-2x^3-x-1
1) Calculer la division euclidienne de P par P'
Donc  j'obtiens
P=P'*(1/4x-1/8)+(-3/4x²-3/4x-9/8 )
2) En déduire le signe de p(a) avec a une racine de p'
ici le signe est négatif car le reste un polynome a discriminant négatif.
3)Déterminer le nombre de racine réelle de p .

Et la je coince .
Voila ce que je propose :
On a
$\lim_{x\rightarrow +\infty} p(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty} p(x)=+ \infty$ et P est un polynome donc continue
De  plus un polynome  de degrés 3 a au moins une racine réelle appelée $x_0$ et P( $x_0$ ) est négatif

donc par le théorème  des valeur intermédiaires  p a au moins  antécédent   sur $]-\infty;x_0[ et ]x_0;+\infty[$
Donc p a au moins 2 racines réelles  non double car P et p' non  pas les meme racine  d'aprés 2)
Si p' a 2 ou 3 racine réelles distinctes   $x_1 et x_ 2$   alors $p(x_1) et p(x_2)$ sont négatif . Il peut y avoir changement de variation en ces points mais p reste négatif donc  p ne peux pas avoir de racine entre $[min (x_1,x_0,x_2);max(x_1,x_0,x_2)]$
donc p  admet 2 racines

Posté par re : polynome de degrés 4 23-07-21 à 11:16

Bonjour,

Tu devrais faire  un tableau de variation avec:

   $P''(x)$ : ses zéros et son signe.

   $P'(x)$ : ses variations et son signe. (une racine unique $a$ ).

   $P(x)$ : ses variations et ses racines réelles éventuelles  (grâce au signe négatif  de $P(a)$ )