Bonjour tout le monde, voilà j'ai un exercice dont j'ai aussi la correction mais le chapitre étant un peu flou pour moi, je ne comprends pas tout ;
voici l'énoncé :
Soient A =

-1/2	0	0	0
0	1/2	0	0
-1	2	1	2
0	-1/2	1	-1

, u = (1; 0; 0; 1) et v = (1; 0; 1; 0). On fournit le début de la séquence (U^TAkV )k = (1, 1/2, -3/4, 27/8, -51/16, 339/32, -627/64, 4083/128, ...)

. On note H =(1         1/2        -3/4               27/8 )
                              (1/2    -3/4        27/8         -51/16)
                              (-3/4    27/8    -51/16    339/32)
                              (27/8   -51/16   339/32   -627/64)
la matrice de Hankel associée.
1. Déterminer le rang de la matrice H. (Indication : on pourra utiliser un complément de Schur 2  2.)
2. L'algorithme de Berlekamp-Massey, initialisé à m = 7; A = X8
; B = X7 +1/2X6 ¡ 3/4X5 +27/8 X4 ¡51/16X3 +339/32 X2 ¡627/64 X +4083/128
: R0 = A; V0 = 0; R1 = B; V1 = 1: produit les restes et cofacteurs successifs :
R2 = X6 −15/4 X5 +39/8 X4 −195/16 X3 +483/32 X2 −2355/64 X +4083/256                     V2 = −X +1/2
R3 =165/16 X5 −165/32 X4 +2145/64 X3 −2145/128 X2 +8361/64 X −36747/1024
V3 = X2 +15/4 X −9/8
R4 = −2513/880 X2 +432/55 X +4083/880
V4 = −16/165X3 −8/165X2 +16/55X +8/55
En déduire le polynôme minimal (X) de la suite := (U^TA^kV )k0.
3. Vérifier que les coefficients de (X) donnent bien un vecteur de ker(H).
4. Montrer que A(X) =(X −1/2) (X).

Déjà pour l'agorithme de Berlekamp (qui est déjà effectué), sommes nous bien d'accord que chaque fois, pour i2, V _i= V_i-2 - Q_i-1V_i-1 ?
Et c'est surtout à la question 4 que je bloque, dans la solution ils remarquent que 61/2 est valeur propre de A et déduisent le résultat comme 1/2 l'est aussi ;
J'imagine bien que cela se perçoit grâce à la structure triangulaire supérieure par blocs mais j'aimerais connaitre la règle derrière cela, je ne l'ai pas trouvé dans mon cours , mais 1/2 et -1/2 sont sur la diagonale ok, mais 1 et -1 aussi et pourtant ils ne sont pas valeurs propres , alors comment savoir ?
et je ne vois pas non plus comment on déduit le polynome minimal final avec les autres valeurs propres (-3 et 3)

merci !