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Polynômes

Posté par
Marion8 28-10-13 à 10:07

Bonjour!

On considère la suite de polynômes (Pn)n1 définie par P1=1, P2=X
et Pn+2=XPn+1-Pn n1.

1-Calculer P3 et P4. J'ai trouvé P3=X²-1 et P4=X(X²-1)-X
2-Montrer que pour tout n1 et pour tout ]0;[, on a sin(n)=sin()Pn(2cos()). (On raisonnera par une récurrence d'ordre 2). Alors ici je ne vois pas trop comment procéder...
3-Résoudre l'équation sin(nx)=0
4-En déduire que Pn admet au moins n-1 racines dans l'intervalle ]-2;2[.
5-Déterminer le degré et le coefficient dominant de Pn.
  En déduire toutes les racines de Pn, puis factoriser Pn.
6-En déduire que pour tout ]0;[, on a
  sin(n)/sin()=2n-1n-1k=1(cos()-cos(k/n))

Voilà merci de votre aide! =)

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 10:26

Bonjour,
2) ne voulez t-il pas dire pour tout n\geq 2 car pour n=1 ça ne marche pas. De plus, ne serait-ce pas plutôt \sin(n\alpha)=\sin(\alpha)P_{n-1}(2\cos(\alpha)) ?

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 10:30

Non j'ai vérifié ma consigne est bien celle que j'ai donnée... =S

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 10:47

C'est de ma faute, je pensais que c'était écrit \sin(n\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)P_n... mais en effet, c'est correct.
Bon et bien,
\sin((n+1)\alpha)=\sin(\alpha)\cos(n\alpha)+\sin(n\alpha)\cos(\alpha)=\sin(\alpha)[\cos(n\alpha)+P_n(2\cos(\alpha))\cos(\alpha)]
=\sin(\alpha)[\cos(n\alpha)-P_n(2\cos(\alpha))\cos(\alpha)+2P_n(2\cos(\alpha))\cos(\alpha)]

reste à montrer que \cos(n\alpha)-P_n(2\cos(\alpha))\cos(\alpha)=-P_{n-1}(2\cos\alpha) et le tour est joué

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 10:56

Oui je comprends pourquoi vous dîtes ça, j'ai cherché et vous avez raison je ne vois pas non plus comment faire puisque sin() n'est en aucun cas égal à 2sin()cos()...

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 10:58

Oups... mais vous ne faîte pas pour n=1?

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 11:29

Je ne comprends pas tout... =S

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 11:34

non en fait tu ne comprend pas la formule (tu tombe dans le même piège que moi au début )
P_n(2\cos(\alpha)) n'est pas P_n\times 2\cos(\alpha) mais c'est le nombre P_n(2\alpha) à savoir le nombre qui est associé à 2\cos\alpha par la fonction P_n (comme f(x) par exemple)

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 11:45

Ah oui d'accord! =) Mais pour l'initialisation il faut bien faire pour n=1 et pour n=2? Ce que vous avez mis dans le message de 10h47 il s'agit de l'hérédité n'est-ce pas?

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 11:48

mais c'est bon pour n=1, en effet, p_1(2\cos\alpha)=1 donc \sin(\alpha)p_1(2\cos\alpha)=\sin\alpha qui est bien égale à \sin(n\alpha) pour n=1

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 11:53

Ah mais oui du coup! C'est parfait ça! Bon il me reste n=2 alors!

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 11:54

pas besoin, tu peux commencer la démonstration par récurrence

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 11:59

Ah mais pourtant on me demande de faire une récurrence d'ordre 2...

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 12:00

en tout honnêteté, je ne sais pas trop ce que ça veut dire... peut-être une double récurrence (puisque il faut montrer que \cos(n\alpha)=... et il faut le faire par récurrence...)
je ne sais pas

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 12:05

Je vais vous donner la méthode!
Initialisation: On vérifie que P(n0) et P(n0+1) sont vraies.
Hérédité: On considère un entier n fixé supérieur ou égal à n0 tel que P(n) et P(n+1) sont vraies. On montre alors en utilisant P(n) et P(n+1) que P(n+2) est encore vraie.
Conclusion: On en conclut que...

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 12:06

tu as donc ta réponse

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 12:09

Ben mon problème va être l'hérédité mais vous l'avez faite en partie j'ai l'impression... Bref je crie au secours si je me retrouve bloquée! Merci!

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 12:12

Aha et ben ça y est je suis déjà bloquée!! ^^' J'obtiens pour n=2 sin(2)=sin()X ^^'

Posté par
idmre : Polynômes 28-10-13 à 12:23

meuh non !! si P_2(X)=X, ça signifie que P_2(2\cos(\alpha))=?

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 12:33

Ben X...

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 13:42

Je ne vois rien d'autre sinon...

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 14:00

Pour que ça fonctionne il faudrait que P2(2cos())=2cos() mais on a par définition que P2=X ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 28-10-13 à 14:11

Bonjour

Si P_2(X)=X, on a P_2(x)=x pour tout nombre réel x

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 14:14

D'accord mais du coup pour mon n=2 j'ai c'est P2(2cos())=X ?

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 14:14

Oups P2 et non P²

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 28-10-13 à 14:14

Tu prends x=2\cos(\alpha)

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 14:28

Ok donc j'ai bien mon P2(2cos())=(2cos()) =)

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 28-10-13 à 14:37

Eh oui!

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 14:47

Merci! Bon je me lance dans l'hérédité!

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 14:58

Est-ce que je peux faire sin((n+2))=sin()Pn+2(2cos()
                                                   =sin()2cos()sin((n+1))-sin()
Et ainsi de suite?                                                

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 28-10-13 à 15:04

Je ne comprends pas!

Où as-tu prouvé quelque chose? Ecris tout; les hypothèses et la démonstration.

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 15:19

Le but de notre hérédité est de montrer que Pn+2 est vraie soit sin((n+2))=sin()Pn+2(2cos()) est vraie.

Par definition j'ai P(n+2)=XP(n+1)-P(n)
Par HR j'ai sin((n+2))=sin()Pn+2(2cos())
donc sin(2)con(n)+sin(n)cos(2)=sin()(2cos()*[sin()cos(n)+sin(n)cos()]-sin(n)

Voilà le démarrage... Pensez vous qu'il est correct?

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 28-10-13 à 15:30

Je ne comprends pas comment TOUS les polynômes peuvent disparaitre!

L'hypothèse de récurrence est

\sin((n+1)\alpha)=\sin(\alpha)P_{n+1}(2\cos(\alpha)) et \sin(n\alpha)=\sin(\alpha)P_n(2\cos(\alpha))

La propriété à démontrer est

\sin((n+2)\alpha)=\sin(\alpha)P_{n+2}(2\cos\alpha))

Bien sur il faut se servir de la définition dans le second membre, mais ensuite il y a encore des polynômes...

Vu ce qui t'a bloquée avant: Que vaut P_{2n+2}(2\cos(\alpha)) d'après la définition?

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 15:35

Pourquoi P(2n+2)? Hum justement je crois que c'est ce qui me bloque encore mais je dirai 2cos()sin((n+1))-sin(n)...

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 28-10-13 à 15:42

Oui, bien sur il s'agit de P_{n+2}

La définition: P_{n+2}(X)=XP_{n+1}(X)-P_n(X). On remplace X par 2\cos(\alpha) et on trouve

P_{n+2}(\cos(2\alpha))=\cos(2\alpha)P_{n+1}(2\cos(\alpha))-P_n(2\cos\alpha))

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 15:53

On ne remplace donc pas le Pn ni le Pn+1 ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 28-10-13 à 16:04

Maintenant tu multiplies tout par \sin(\alpha) et tu utilises l'hypothèse de récurrence

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 17:10

Je suis bloquée à sin((n+2))=cos(2)sin((n+1))-sin(n)...

Posté par
veledare : Polynômes 28-10-13 à 17:51

bonjour,
c'est    sin(\alpha)P_{n+2}(2cos(\alpha))=2cos(\alpha)sin((n+1)\alpha)-sin(n\alpha)   petite faute de frappe de Camélia
tu transformes la première expression en une somme de sinus

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 18:05

Bonjour!
Ah oui effectivement je n'avais pas vu! ^^ On obtient donc 2cos()(sin()cos(n)+sin(n)cos())-sin(n)?

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 18:06

Après par contre je ne vois pas comment simplifier tout ça... =S

Posté par
veledare : Polynômes 28-10-13 à 18:51

2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
donc2sin((n+1)\alpha)cos(\alpha)=

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 18:53

Ah en fait j'y suis presque!! =D

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 18:57

C'est bon je l'ai eu! Merci! =) Sinon pour la 3) j'ai trouvé x=k/n avec k est-ce correct?

Posté par
Marion8re : Polynômes 28-10-13 à 21:58

Pas d'idée? =S

Posté par
veledare : Polynômes 28-10-13 à 23:23

des idées pour quelle question?
si k{1,2,3,......,n-1} sin(n\frac{k\pi}{n})=0  et   sin(\frac{k\pi}{n})0 ,que peux-tu en déduire pour P_n(2cos(\frac{k\pi}{n}))

Posté par
Marion8re : Polynômes 29-10-13 à 11:52

Donc la réponse qui est dans mon message de 18h57 est correcte? Je peux en déduire que
Pn(2cos(k/n))=sin(nk/n)/sin(k/n)?

Posté par
iciparisonziemere : Polynômes 29-10-13 à 12:03

Tu ne sembles par remarquer que sin( nk/n) = sin( k ) vaut ZERO.

Veleda voulait te faire remarquer que les nombres :

       2cos ( /n ) , 2cos ( 2/n) ,  .... , 2cos ( (n-1) /n)

sont n racines (distinctes) du polynômes Pn. Il est clair que tous ces nombres appartiennent à l'intervalle ] -2 ; 2 [

Posté par
iciparisonziemere : Polynômes 29-10-13 à 12:04

n-1 racines, pardon !

Posté par
iciparisonziemere : Polynômes 29-10-13 à 12:07

5] Avec une récurrence tout aussi rigolote que celle du 2], tu démontreras que Pn est un polynôme normalisé de degré n-1

   Ceci qui te permettra de dire que tu as obtenu toutes les racines de Pn à la question précédente

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