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Polynômes

Posté par
Jeanmichdu27 14-01-18 à 22:20

Bonsoir,

je ne sais pas si il y aura du monde pour m'aider mais je ne sais pas comment procéder pour cet exercice, si quelqu'un pourrait m'éclairer ce serait avec plaisir.Merci d'avance.


Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme Pn ∈ [X] tel que :
Pn − Pn = Xn
Exprimer les coefficients de Pn à l'aide de nombres factoriels

Posté par
Schtromphmolre : Polynômes 14-01-18 à 22:21

Bonsoir,

Qui est Xn ? Pn - Pn = 0 non ?

Posté par
Jeanmichdu27re : Polynômes 14-01-18 à 22:45

Excusez moi je n'avais pas fait attention

c'est Pn-P'n=Xn

Posté par
veledare : Polynômes 14-01-18 à 23:08

bonsoir,
tu pourrais dériver une fois,deux foix...

Posté par
mousse42re : Polynômes 14-01-18 à 23:09

Bonsoir,

Un conseil, faire un test sur un polynôme de degré 2, pour avoir une idée avant de généraliser

Posté par
Jeanmichdu27re : Polynômes 14-01-18 à 23:10

D'accord merci pour vos conseils

Posté par
Razesre : Polynômes 14-01-18 à 23:29

Bonsoir,

Jeanmichdu27 @ 14-01-2018 à 22:45

Excusez moi je n'avais pas fait attention

c'est Pn-P'n=Xn
Donc, tu peux déduire le degré de  P-P', puis le degré de P et de P'; Après tu pourras poser P(X)=\sum_{k=0}^{??}...

Posté par
jb2017re : Polynômes 15-01-18 à 01:15

Bonjour,
Vu les deux  questions, il faut voir l'application linéaire f: p--->f(p)=p-p'  est un homomorphisme  d'ev  à la fois pour E=R[X]  et E=R_n[X] et  f est clairement injectif (dans les 2 cas).
Dans cela montre qu'il existe un unique polynôme solution et que ce polynôme est dans  R_n[X] . De plus si on y réfléchit un peu, ce polynôme est de degré n exactement.
Pour la question 2.: par dérivation successives de l'équation, en  x=0  on obtient
p^{(j)}(0)-p^{(j-1)}(0) =a_j\times j!-a_{j-1}\times(j-1)=0 , pour j=0,.... je vous laisse terminer


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