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Niveau Maths sup
Polynômes et nombres premiers.
Posté par 1 Schumi 1
Bonjour à tous, 
J'ai un petit souci avec cet exercice. Un petit coup de main ne serait pas de refus. 
Voici l'énoncé:
Citation :
Montrer qu'il n'existe pas de polynômes à coefficients entiers à une seule variable dont la valeur en tout entier soit un nombre premier. Montrer qu'il existe un polynôme à plusieurs variables à coefficients entiers dont les valeurs positives prises sur les entiers soient exactement les nombres premiers.
Montrer qu'il n'existe pas de polynômes à coefficients entiers à une seule variable dont la valeur en tout entier soit un nombre premier. Montrer qu'il existe un polynôme à plusieurs variables à coefficients entiers dont les valeurs positives prises sur les entiers soient exactement les nombres premiers.
J'ai déjà résolu la première partie de l'exercice. Mais je bloque sur la deuxième partie. Je ne veux pas la réponse, bien entendu. Si quelqu'un à une idée pour la résolution, par contre, je suis partant. Encore mieux: si vous avez la soluce, merci de me donner un nain dix pour que je la trouve aussi.
Merci d'avance à tous.
Ayoub.
Selon mon exo, oui. (Je précise que l'énoncé de l'exo précise: "cette deuxième question est très difficile").
Regarde, si tu considères un polynôme à d variables qui vérifie les propriétés énoncées et que tu fixes les d-1 premières variables... que peux-tu dire?
Euh ça existe essaie sur google "ensemble diophantiens" un ensemble est dit diophantien s'il est égal à l'ensemble des valeurs d'un polynômes sur les entiers.
Je crois qu'il y a une solution en 24 variables et un degré du même ordre....et c'est dur !
Trouvé sur Wikipédia :
( 1
− [ w.z + h + j − q ]2
− [ 2.n + p + q + z − e ]2
− [ a2.y2 − y2 + 1 − x2 ]2
− [ e3.(e + 2).(a + 1)2 + 1 − o2 ]2
− [ 16.(k + 1)3.(k + 2).(n + 1)2 + 1 − f2 ]2
− [ ((a + u2.(u2 − a))2 − 1).(n + 4.d.y)2 + 1 − (x + c.u)2 ]2
− [ a.i + k + 1 − l − i ]2
− [ (g.k + 2.g + k + 1).(h + j) + h − z ]2
− [ 16.r2.y4.(a2 − 1) + 1 − u2 ]2
− [ p − m + l.(a − n − 1) + b.(2.a.n + 2.a − n2 − 2.n − 2) ]2
− [ z − p.m + p.l.a − p2l + t.(2.a.p − p2 − 1) ]2
− [ q − x + y.(a − p − 1) + s.(2.a.p + 2.a − p2 − 2.p − 2) ]2
− [ a2.l2 − l2 + 1 − m2 ]2
− [ n + l + v − y ]2
) . (k + 2)
Bonjour,
C'est pourtant fastoche 
Le polynôme suivant, de degré 25 et à 26 variables, fait l'affaire :
(k+2){1 - [wz+h+j-q]2 - [(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]2 - [2n+p+q+z-e]2 - [16(k+1)3(k+2)(n+1)2+1-f2]2 - [e3(e+2)(a+1)2+1-o2]2 - [(a2-1)y2+1-x2]2 - [16r2y4(a2-1)+1-u2]2 - [((a+u2(u2-a))2 -1)(n+4dy)2 + 1 - (x+cu)2]2 - [n+l+v-y]2 - [(a2-1)l2+1-m2]2 - [ai+k+1-l-i]2 - [p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n2-2n-2)-m]2 - [q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p2-2p-2)-x]2 - [z+pl(a-p)+t(2ap-p2-1)-pm]2}
(cf. J. P. Jones, D. Sato, H. Wada et D. Wiens, "Diophantine representation of the set of prime numbers", Amer. Math. Monthly, 83 (1976) 449-464.).
Cordialement
Frenicle
C'est quoi cette blague encore?
frenicle >> Merci, mais tu peux me dire comment on fait pour trouver un truc aussi immonde?
Bizarre...
Soit A(x1,...,x(d-1),xd) un polynôme à d variables à coefficients entiers tel que pour tout (x1,x2,...,xd) de Zn
A(x1,x2,...,xd) soit premier.
Alors P(X)=A(0,0,...,0,X) est un polynôme à coefficients entiers à une seule variable tel que pour tout x entier P(X) soit premier.
Mais d'après la première question, un tel polynôme n'existe pas.
d'où la contradiction!
J'ai pas faux, non?
Non non, Ju, l'énoncé c'est "pour toute valeur positive". A priori, on n'en sait pas si c'est le cas pour tout polynôme.
OK! (j'avais mal lu l'énoncé)
c'est vraiment bidon alors! Pourquoi ne pas se restreindre aux nombres premiers dans ce cas?
Bonjour
Ne te fatigue pas! Il s'agit du polynôme de Matiiassevich (orthographe non garantie) donné par frenicle et ça m'étonnerait qu'on en trouve un en remuant le nez comme la sorcière bien-aimée!
Bonjour Camélia,
Rooh, tkt pas, j'ai même pas essayer. En fait, c'est juste une annonce pour celui ou celle qui la possèderait dans un bouquin bien gardé.