Tout d'abord bonjour à tous, ainsi que bonne et heureuse année !
J'aimerai avoir quelques éclaircissements sur cette exercice qui ne m'insipire que très peu.
Voici l'énoncé :
Déterminer tous les polynômes P de , de degré 5, tels que 2 est racine de multiplicité 3 du polynômes et 0 est racine de multiplicité 3, du polynôme .
Bon, si je prends mon cours je vois que
1) Il existe tel que
2)
et on dit que a est une racine de multiplicité k de P, si a et P vérifient l'une des conditions équivalentes du théorème.
C'est ici que j'ai besoin d'aide.
En utilisant le cours, je peux dire que, ici, a=2 pour k=3 et a'=0 pour k'=0 et on a et
Est-ce exact ?
Si oui (j'en doute), que faire après ?
Merci pour tout
oui, tu paux le dire, mais n'écris pas Q' (R, plutôt), il y a un risque de confusion.
Tu supposes les polynômes P, Q et R unitaires, ce qui ne coûte pas grand chose.
P est de degré 5, Q et R de degré 3. Si tu dévelopes le tout et que tu identifies, cela peut t'aider...
(tu risques d'avoir un système 8x8...)...
Je vous remercie !
Donc en gros, j'écris mes polynômes P, Q et R sous ces formes :
Je dévelope et
ainsi que et
Ce qui me donne ce système :
Puis j'identifie les , et , pour avoir mon polynôme P. Est ce bien cela ? =)
ps : une dernière question : quand vous dîtes que le degré de Q et R est 3, êtes vous sûr ? Il me semble que le degré est 2 étant donné que le degré de (X-2)^3 et de X^3 est 3.
Merci
L'astuce consiste à passer par le polynôme dérivé.
Si 2 est racine de multiplicité 3 du polynôme P-4 et 0 est racine de multiplicité 3, du polynôme P+1 alors 2 et 0 sont racines de multiplicité 2, du polynôme P'.
Or deg(P') = deg(P)-1 = 4.
En intégrant :
2 est racine de P-4
0 est racine de P+1
On en déduit donc P.
Je ne pense pas qu'il faut considerer les polynomes unitaires.
MAIS tu as tous les elements. Il suffit de bien les utiliser.
P est un polynome de degre 5 dont P+1 a pour racine d'ordre 3 : 0.
=>P(X)+1=X^3*Q(X) ou Q(X)=a*x^2+bx+c avec c different de 0
car sinon l'ordre de 0 serait 4 et non 3.
puis on considere P(X)-4=X^3*(a*x^2+bx+c)-5
P(2)-4=0 donc 8*(4a+2b+c)-5=0 (1)
on developpe P(X)-4 :
P(X)-4=aX^5+bX^4+cX^3-5
P'(2)-4=0
donc 80*a+32b+12c=0 (2)
P''(2)-4=0
donc 160a+48b+12c=0 (3)
il est a noter que P'''(2)-4 DIFFERENT DE 0.
donc 240a+48b different de 0.
on a un systeme de 3 equations
8*(4a+2b+c)-5=0 (1)
80*a+32b+12c=0 (2)
160a+48b+12c=0 (3)
a 3 inconnues a b et c.
solutions a=15/16 b=-75/16 c=25/4
on remarque que c different de 0 et 240a+48b different de 0.
conclusion P(X)=(15/16)*X^5-(53/16)*X^4+(25/4)*X^3-1
autre solution plus simple (je veux dire moins calculatoire)
(P+1)'=P'=(P-4)'
X^2 divise (P+1)' et (X-2)^2 divise (P-4)'
X^2 ^ (X-2)^2 = 1
donc X^2*(X-2)^2 divise P'.
Or P' est de degre 4 => P'(X)=p*X^2*(X-2)^2=p*X^4-4*p*X^3+4*p*X^2
avec p dans R prive de 0.
donc P(X)=(p/5)*X^5-p*x^4+(4/3)*p*X^3+q.
(q constante d'integration)
reste a trouver p et q.
P(0)=-1 P(2)=4
donc q=-1
et (p/5)*32-16*p+32*p/3-1=4 =>(16/15)*p-1=4 => 75/16=p.
donc P(X)=(15/16)X^5-(53/16)X^4+(25/4)*X^3-1
(meme solution)
a+
pour la ligne :
X^2 ^ (X-2)^2 = 1
ca veut dire PGCD(X^2,(X-2)^2)=1.
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