Niveau autre

Polynômes et racines de multiplicité

Posté par Yeligar (invité) 02-01-05 à 17:19

Tout d'abord bonjour à tous, ainsi que bonne et heureuse année !

J'aimerai avoir quelques éclaircissements sur cette exercice qui ne m'insipire que très peu.

Voici l'énoncé :

Déterminer tous les polynômes P de $\mathbb{R}[X]$ , de degré 5, tels que 2 est racine de multiplicité 3 du polynômes $(P-4)$ et 0 est racine de multiplicité 3, du polynôme $(P+1)$ .

Bon, si je prends mon cours je vois que
1) Il existe $Q \in \mathbb{K}$ tel que $P=(X-a)^k \times Q$
2) $P(a) = P'(a) = P''(a) = ... = P^{k+1}(a)=0$
et on dit que a est une racine de multiplicité k de P, si a et P vérifient l'une des conditions équivalentes du théorème.

C'est ici que j'ai besoin d'aide.

En utilisant le cours, je peux dire que, ici, a=2 pour k=3 et a'=0 pour k'=0 et on a $(P-4)=(X-2)^{3} \times Q$ et $(P-1)=(X)^{3} \times Q'$

Est-ce exact ?
Si oui (j'en doute), que faire après ?

Merci pour tout

Posté par Al1 (invité)re : Polynômes et racines de multiplicité 02-01-05 à 17:36

oui, tu paux le dire, mais n'écris pas Q' (R, plutôt), il y a un risque de confusion.

Tu supposes les polynômes P, Q et R unitaires, ce qui ne coûte pas grand chose.

P est de degré 5, Q et R de degré 3. Si tu dévelopes le tout et que tu identifies, cela peut t'aider...
(tu risques d'avoir un système 8x8...)...

Posté par Yeligar (invité)re : Polynômes et racines de multiplicité 02-01-05 à 18:51

Je vous remercie !

Donc en gros, j'écris mes polynômes P, Q et R sous ces formes :
$P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3 +a_4 X^4 + a_5 X^5$
$Q(X) = q_0 + q_1 X + q_2 X^2 + q_3 X^3$
$R(X) = r_0 + r_1 X + r_2 X^2 + r_3 X^3$

Je dévelope $P(X)-4$ et $(X-2)^3 Q(X)$
ainsi que $P(X)-1$ et $X^3 R(X)$

Ce qui me donne ce système :

$a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3 +a_4 X^4 + a_5 X^5 -4 = (X-2)^3( q_0 + q_1 X + q_2 X^2 + q_3 X^3)$
$a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3 +a_4 X^4 + a_5 X^5 -1 = r_0 X^3 + r_1 X^4 + r_2 X^5 + r_3 X^6$

Puis j'identifie les $a_n$ , $q_n$ et $r_n$ , pour avoir mon polynôme P. Est ce bien cela ? =)

ps : une dernière question : quand vous dîtes que le degré de Q et R est 3, êtes vous sûr ? Il me semble que le degré est 2 étant donné que le degré de (X-2)^3 et de X^3 est 3.

Merci

Posté par re : Polynômes et racines de multiplicité 02-01-05 à 19:22

L'astuce consiste à passer par le polynôme dérivé.

Si 2 est racine de multiplicité 3 du polynôme P-4 et 0 est racine de multiplicité 3, du polynôme P+1 alors 2 et 0 sont racines de multiplicité 2, du polynôme P'.
Or deg(P') = deg(P)-1 = 4.

$P'(X)=\lambda\,X^2\,(X-2)^2=\lambda\,(X^4\,-\,4X^3\,+\,4X^2)$
En intégrant :
$P(X)=\lambda\,(\frac 1 5 X^5\,-\,X^4\,+\,\frac 4 3 X^3) + \mu$

2 est racine de P-4 $\Longrightarrow P(2)=4\Longrightarrow \lambda\,(\frac {32} 5 \,-\,16\,+\,\frac {32} 3) + \mu=4$
0 est racine de P+1 $\Longrightarrow P(0)=-1\Longrightarrow \mu=-1$

On en déduit $\lambda$ donc P.

Posté par minotaure (invité)re : Polynômes et racines de multiplicité 02-01-05 à 19:53

Je ne pense pas qu'il faut considerer les polynomes unitaires.
MAIS tu as tous les elements. Il suffit de bien les utiliser.
P est un polynome de degre 5 dont P+1 a pour racine d'ordre 3 : 0.
=>P(X)+1=X^3*Q(X) ou Q(X)=a*x^2+bx+c avec c different de 0
car sinon l'ordre de 0 serait 4 et non 3.

puis on considere P(X)-4=X^3*(a*x^2+bx+c)-5

P(2)-4=0 donc 8*(4a+2b+c)-5=0 (1)

on developpe P(X)-4 :
P(X)-4=aX^5+bX^4+cX^3-5
P'(2)-4=0
donc 80*a+32b+12c=0 (2)
P''(2)-4=0
donc 160a+48b+12c=0 (3)

il est a noter que P'''(2)-4 DIFFERENT DE 0.
donc 240a+48b different de 0.

on a un systeme de 3 equations
8*(4a+2b+c)-5=0 (1)
80*a+32b+12c=0 (2)
160a+48b+12c=0 (3)

a 3 inconnues a b et c.

solutions a=15/16 b=-75/16 c=25/4

on remarque que c different de 0 et 240a+48b different de 0.

conclusion P(X)=(15/16)*X^5-(53/16)*X^4+(25/4)*X^3-1

autre solution plus simple (je veux dire moins calculatoire)
(P+1)'=P'=(P-4)'
X^2 divise (P+1)' et (X-2)^2 divise (P-4)'
X^2 ^ (X-2)^2 = 1
donc X^2*(X-2)^2 divise P'.
Or P' est de degre 4 => P'(X)=p*X^2*(X-2)^2=p*X^4-4*p*X^3+4*p*X^2
avec p dans R prive de 0.

donc P(X)=(p/5)*X^5-p*x^4+(4/3)*p*X^3+q.
(q constante d'integration)
reste a trouver p et q.
P(0)=-1 P(2)=4
donc q=-1
et (p/5)*32-16*p+32*p/3-1=4 =>(16/15)*p-1=4 => 75/16=p.

donc P(X)=(15/16)X^5-(53/16)X^4+(25/4)*X^3-1
(meme solution)

a+

Posté par minotaure (invité)re : Polynômes et racines de multiplicité 02-01-05 à 19:54

pour la ligne :
X^2 ^ (X-2)^2 = 1

ca veut dire PGCD(X^2,(X-2)^2)=1.

Posté par Yeligar (invité)re : Polynômes et racines de multiplicité 02-01-05 à 23:02

Bien, je vous remercie tous ! Je vais réfléchir à tous ça demain.

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