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Niveau Reprise d'études
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polynômes et récurrence

Posté par
pppa
28-12-23 à 23:48

Bonjour

je bute sur la démonstration de l'hérédité de la divisibilité du polynôme suivant :

Montrer par récurrence sur n que le polynôme P_n = (x-1)^{n+2} + x^{2n+1} est divisible par x^2 - x +1

L'amorce pour n = 0 est triviale

Comme hypothèse de récurrence, ja pars de :
Si  x^2 - x +1 | P_{n-1}, alors il existe un polynôme Q tel que  P_{n-1} = (x^2 - x +1).Q(x)
mais je n'arrive pas à en déduire que la propriété est vraie pour P_n.

Ayant fait des tests sur P_1, P_2, P_3, il semble qu'on ne puisse pas multiplier Q(x) par un autre polynôme tout en conservant le facteur x^2 - x +1.

Quant au développement du binôme de Newton sur (x-1)^{n+1}, (pour P_{n-1}), avec le deuxième terme x^{2n-1}, je ne vois pas comment avancer non plus.

Merci par avance si vous pouvez m'aider.

Posté par
carpediem
re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 00:22

salut

on suppose P(n) vraie pour un entier n donc P_n(x) = (x^2 - x + 1) Q_n(x)

P_{n + 1} (x) = (x - 1)^{n + 3} + x^{2n + 3} = (x - 1) [(x - 1)^{n + 2} + x^{2n + 1}] - (x - 1)x^{2n + 1} + x^{2n + 3} = (x - 1)P_n(x) + x^{2n + 1}(x^2 - x + 1)

il ne reste plus qu'à récurer ...

Posté par
lake
re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 00:29

Bonsoir,
Tu peux vérifier que :

(x-1)^{n+3}+x^{2n+3}=\left[(x-1)^{n+2}+x^{2n+1}\right](x-1)+x^{2n+1}(x^2-x+1)

Posté par
lake
re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 00:30

Ah ! trop tard !
Bonsoir carpediem

Posté par
carpediem
re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 00:40

salut lake

Posté par
pppa
re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 19:27

Un grand merci à vous deux.

Je vous souhaite de très bonnes fêtes de fin d'année.

Philippe

Posté par
carpediem
re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 20:19

merci et à toi aussi

Posté par
lake
re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 21:45

Très bonne Saint Sylvestre à toi Philippe



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