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Polynômes et suites
Bonjour, j'ai un problème de synthèse à résoudre avec des polynômes et des suites et c'est pas mon fort, vous pouvez m'aider??
Pour tout entier naturel n>1, on note P[/sub]n le polynôme défini sur 
par:
P[sub]n(x)=x[/sup]n+x[sup](n-1)+...+x-1
1- Démontrer que P[/sub]n possède une racine et une seule dans l'intervalle ]0;1[
Par la suite on note 
[sub]n cette racine.Alors:
P[/sub]n([sub]n)=0
2-a) Prouver que pour tout réel x>0, P[/sub](n+1)(x)>P[sub]n(x)
b) en déduire que P[/sub](n+1)([sub]n)>0 et donc que [/sub](n+1) est dans ]0;[sub]n[
c) Quel est alors le sens de variation de la suite ([/sub]n)?
3-a) Prouver que pour tout réel x
1:
p[sub]n(x)=[[1-x[/sup](n+1)]/1-x]-2
b) En déduire que pour tout entier n
1:
2[/sub]n-([sub]n)[sup](n+1)-1=0
4-a) Déduire du sens de variation de la suite ([/sub]n) que pour tout n2, [sub]n
[/sub]2 puis que ([sub]n)[/sup]n([/sub]2)[sup]n
b) En déduire que lim en +
de ([sub]n)[sup][/sup]n=0 et que lim en + de [sub][/sub]n=1/2
Merci
Aidez-moi s'il vous plaît.Je n'y arrive vraiment pas.
Merci d'avance
Bonjour,
1- Je ne vois pas où est le problème. Il suffit d'étudier les variations de la fonction sur [0;1]
Pn'(x)=nx^(n-1)+...+1 positif sur [0;1]
Donc Pn est croissante sur [0;1]
Or Pn(0)=-1 <0
Pn(1)=n-1>0
Donc...
2-a) Prouver que pour tout réel x>0, P(n+1)(x)>Pn(x)
C'est évident, puisque :
P(n+1)(x) = Pn(x) + x^(n+1)
et que x^(n+1) est >0 si x est >0
bonjour mel76
permettez moi de vous répondre
tout d'abord je croit que votre polynome Pn est plutôt:
Pn(x)=x^n+x^(n-1)+...+x-1
sur ce voici qq indications.
1) calculez Pn(0) et Pn(1) et utilisez ensuite le théorème des valeurs intermédiaires en remarquant qu'un polynome est continu.
soit an ; la racine de Pn(x)=0 an appartient à ]0,1[ ; (j'ai utilisé an à la place de alpha n).
2)a)soit x>0 on a:
P(n+1)(x)=x^(n+1)+x^n+x^(n-1)+...+x-1
= x^(n+1) +Pn(x)
donc
P(n+1)(x)-Pn(x)=x^(n+1)
comme x>0 vous en déduisez donc le signe de P(n+1)(x)-Pn(x) et vous concluez.
b)utilisez le fait que Pn(an)=0
et le résultat est immédiat.
utiliser ensuite le fait que P(n+1)(0)=-1<0 et P(n+1)(an)>0 et le théorème des valeurs intermédiares pour conclure en l'existance de a(n+1) telle que
P(a(n+1))=0 et a(n+1) appartient à ]0,an[.
c) comme a(n+1) appartient à ]0,an[ la réponse à cette question est immédiate.
3)a)
Pn(x)=x^n+x^(n-1)+...+x-1
=(x^n+x^(n-1)+...+x+1) -2
=[(1-x^(n+1)/(1-x)] - 2
b) comme Pn(an)=0 donc [(1-an^(n+1)/(1-an)] - 2=0
vous développez les calculs pour trouvez votre résultat.
4)a) utilisez la décroissance de an pour montrez que qq soit n 0<an<a2
utilisez le fait que la fonction g(x)=x^n est croissante sur ]0,1[ pour montrez que 0<(an)^n<(a2)^n
b)utilisez le fait que a2<1 pour montrer que lim(a2)^n=0 en +oo et concluez.
écrivez que:
2an-(an)^(n+1)-1=0 donc an -1/2 = 1/2(an)^(n+1)
donc
|an -1/2 |= 1/2(an)^(n+1) ; car an>0
utilisez lim(an)^n=0 pour conclure.
voila bon courage
merci beaucoup.Pour vous ça vous parrait peut-être très facile mais moi j'ai beaucoup de difficultés.
Maintenant je vais étudier tout ça.
merci encore.
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