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Niveau Reprise d'études
Polynômes/fonctions polynômiales
Posté par manu_du_40
Bonsoir à tous,
j'ai une petite question sur la différence entre polynômes et fonctions polynomiales :
Soit P un polynôme de et
sa fonction polynômiale associée. Si
ou
, l'application qui a P associe
fournit un isomorphisme d'anneaux donc il n'est pas gênant de confondre les deux concepts.
Pourtant, si K est un autre corps, mon cours fournit l'exemple suivant :
(où p est premier).
P le polynôme à coefficients dans défini par
.
La fonction polynomiale associée à P est nulle.
Sur ce dernier point, le cours ne donne pas plus d'explications donc j'essaie d'en trouver une 
:
Dans la fonction définie par , le petit théorème de Fermat assure que si x est un entier compris entre 0 et p-1,
est nul modulo p.
En revanche, je ne vois pas trop ce qui empêche de remplacer x par n'importe quel nombre réel ici (du coup, la notion de modulo p n'a plus de sens).
Après tout le fait que n'empêche pas de dire que
est racine de ce polynôme non ?
Par conséquent, j'ai envie de dire que f est nulle en n'importe quel entier premier avec p (il y en a une infinité) mais j'ai du mal à comprendre pourquoi f serait identiquement nulle.
Merci de m'avoir lu.
Manu
Salut,
la fonction est nulle sur K, tout simplement
pourquoi vouloir aller sur R ou C par défaut ? ici tu dis toi-même que K n'est plus R ou C
Bonsoir,
on se place dans le corps et on considère la fonction
Le corps a trois éléments que je vais noter 0 ; 1 et 2.
Les restes possibles dans une division par 3.
Il est facile de donner les valeurs de et on constate que c'est toujours 0.
Le point important est qu'il est impossible de remplacer x par n'importe quel nombre réel parce que l'on ne travaille pas dans l'ensemble des nombres réels.
Ton erreur vient du fait que tu confonds l'unité de l'anneau avec celle de l'anneau de polynômes.
Quand tu as un anneau de caractéristique nulle, il contient une copie de Z parce qu'il n'y a qu'une façon d'envoyer 0 sur 0 et 1 sur 1. C'est l'image par le morphisme .
Prends par exemple Z/4Z et son élément .
Que vaut 2x ? C'est , parce que l'addition passe au quotient, c'est fait pour.
Que vaut ? C'est
parce que le produit passe au quotient et c'est fait exprès là aussi.
En fait, tu as toujours, pour tout entier n et pour tout l'égalité
.
Ce qui t'empêche de remplacer x par n'importe quel complexe c'est la chose suivante : comment définis tu quand
et
Salut tout le monde et merci pour vos réponses
@Zormuche : je suis d'accord mais je crois que la définition d'application polynomiale est beaucoup moins claire dans ma tête que ce que je crois.
Dois je forcément, pour la définir, me restreindre au corps (ou à l'anneau) dans lequel je prends les coefficients du polynôme ?
@Verdurin
Citation :
Le point important est qu'il est impossible de remplacer x par n'importe quel nombre réel parce que l'on ne travaille pas dans l'ensemble des nombres réels.
Le point important est qu'il est impossible de remplacer x par n'importe quel nombre réel parce que l'on ne travaille pas dans l'ensemble des nombres réels.
Si je travaille dans
Je n'ai pas le droit d'évaluer la fonction polynômiale associée à ce polynôme en i par exemple ?
@Ulmiere
je crois que je comprends bien le problème.
Si j'ai bien compris votre réponse, il y a ici un problème car il faudrait pour cela arriver à définir une loi externe dans Z/pZ.
Mais quand je travaille dans un sous-ensemble de
, je ne vois pas ce qui empêche de faire l'opération.
Doit-on par exemple dire que si on considère
Il n'y a pas que les réels dans le monde mathématique. Si tu parles de la fonction associée au polynôme X^2 de R[X], il ne te viendrait pas l'idée de l'évaluer pour une matrice ou une fonction, ou pour n'importe quoi d'autre qu'un réel
Citation :
Si je travaille dans \mathbb{R}[X] et que je prends P(X)=X^2.
Je n'ai pas le droit d'évaluer la fonction polynômiale associée à ce polynôme en i par exemple ?
Si je travaille dans \mathbb{R}[X] et que je prends P(X)=X^2.
Je n'ai pas le droit d'évaluer la fonction polynômiale associée à ce polynôme en i par exemple ?
Tu as le droit de faire ce que tu veux.
Après se pose une question importante : est ce que ce que tu fais a un sens.
@ Zormuche :
Je te donne la définition suivante :
soit E un -ev,
et
, on dit que P est un polynôme annulateur de f si P(f)=0.
On est bien d'accord qu'ici, mon polynôme est à coefficients dans K, et ça n'empêche pas d'évaluer ce polynôme en un endomorphisme.
verdurin @ 23-03-2021 à 21:12
Tu as le droit de faire ce que tu veux.
Après se pose une question importante : est ce que ce que tu fais a un sens.
Citation :
Si je travaille dans \mathbb{R}[X] et que je prends P(X)=X^2.
Je n'ai pas le droit d'évaluer la fonction polynômiale associée à ce polynôme en i par exemple ?
Si je travaille dans \mathbb{R}[X] et que je prends P(X)=X^2.
Je n'ai pas le droit d'évaluer la fonction polynômiale associée à ce polynôme en i par exemple ?
Tu as le droit de faire ce que tu veux.
Après se pose une question importante : est ce que ce que tu fais a un sens.
Alors , pour revenir à ma question initiale :
Dans K=R ou C, on peut confondre polynôme et application polynomiale car les anneaux des polynômes à coefficients dans K et des fonctions polynomiales sont isomorphes.
Si K=Z/pZ, je n'ai plus mon isomorphisme car dans ce cas, le noyau n'est pas trivial (cf l'exemple P(X)=X^p-X).
Pourtant, la preuve de ce que j'ai écrit en bleu repose sur le fait que si deux applications polynômiales
Puis-je en conclure qu'en réalité, polynômes et application polynômiale, c'est la même chose tant que je travaille sur R, C ou encore n'importe quel corps infini ?
Merci pour ta réponse verdurin
Pour moi, le polynôme X^3-X désigne uniquement sa suite de coefficients (1 0 1 0 dans ce cas-ci), ou alors l'écriture X^3-X en tant qu'écriture formelle sans se préoccuper du résultat de cette somme
Le polynôme lui-même n'est donc pas une application
Alors que l'application polynômiale est une application
Zormuche @ 23-03-2021 à 22:02
Pour moi, le polynôme X^3-X désigne uniquement sa suite de coefficients (1 0 1 0 dans ce cas-ci), ou alors l'écriture X^3-X en tant qu'écriture formelle sans se préoccuper du résultat de cette somme
Le polynôme lui-même n'est donc pas une application
Alors que l'application polynômiale
est une application
Pour moi, le polynôme X^3-X désigne uniquement sa suite de coefficients (1 0 1 0 dans ce cas-ci), ou alors l'écriture X^3-X en tant qu'écriture formelle sans se préoccuper du résultat de cette somme
Le polynôme lui-même n'est donc pas une application
Alors que l'application polynômiale
Dans ce cas, si
On commet bien un abus de notation dans cette écriture non ? Et on justifie qu'on peut le commettre "grâce" à l'isomorphisme ?
Citation :
Pourtant, la preuve de ce que j'ai écrit en bleu repose sur le fait que si deux applications polynômiales
et 
sont égales, alors cela signifie que :
(x)=0)
donc le polynôme P-Q a une infinité de racines et c'est donc le polynôme nul. (cela montre que l'application 
est injective).
Pourtant, la preuve de ce que j'ai écrit en bleu repose sur le fait que si deux applications polynômiales
Si tu parles d'un polynôme sur un corps ( ou un anneau ) fini il aura du mal à avoir une infinité de racines.
Par exemple le polynôme nul de
Et dans
D'accord verdurin, donc on peut dire que l'application qui a un polynôme P associe sa fonction polynômiale est donc un isomorphisme tant que P est sur un corps infini.
Ce n'est plus vrai sur un corps fini.
Donc je dois bien faire la distinction entre les deux lorsque les coefficients sont dans Z/pZ, sinon ce n'est pas nécessaire.
Merci bien.
Manu
manu_du_40 @ 23-03-2021 à 22:27
Dans ce cas, si=X^3-X=(1,0,-1,0))
, quel sens donnes-tu à P(1) ?
On commet bien un abus de notation dans cette écriture non ? Et on justifie qu'on peut le commettre "grâce" à l'isomorphisme ?
Dans ce cas, si
On commet bien un abus de notation dans cette écriture non ? Et on justifie qu'on peut le commettre "grâce" à l'isomorphisme ?
Disons que si tu notes
En principe on écrit plutôt
La base canonique de
Ensuite je ne vois pas de quel isomorphisme tu parles.
Il ne s'agit que d'une notation qui fait que l'on écrit avec la même lettre le polynôme et la fonction polynomiale associée.
Pour reprendre l'exemple de
Il y a 27 applications de
Et une infinité de polynômes à coefficient dans
Désolé 
j'écris beaucoup trop lentement.
Il n'y a pas d'isomorphisme évident entre les polynômes et les fonctions polynomiales (quelle serait la structure conservée ? ).
Il y a une bijection canonique entre es polynômes et les fonctions polynomiales si le corps de base a pour caractéristique 0.
Si le corps est fini sa caractéristique est non nulle, mais il existe des corps infini de caractéristique non nulle.
Je parle de l'isomorphisme d'anneaux qui a un polynôme de K[X], associe sa fonction polynomiale (c'est un isomorphisme si K est R ou C mais peut être que c'est vrai dans n'importe quel corps infini du coup... ).
Ce 'est bien sûr pas un isomorphisme si K est F3 comme dans ton exemple
Citation :
]Désolé j'écris beaucoup trop lentement.
]Désolé j'écris beaucoup trop lentement.
Pas de problème verdurin. C'est déjà sympa de me consacrer de ton temps.
manu_du_40 @ 23-03-2021 à 22:27
Dans ce cas, si, quel sens donnes-tu à P(1) ?
On commet bien un abus de notation dans cette écriture non ? Et on justifie qu'on peut le commettre "grâce" à l'isomorphisme ?
Zormuche @ 23-03-2021 à 22:02
Pour moi, le polynôme X^3-X désigne uniquement sa suite de coefficients (1 0 1 0 dans ce cas-ci), ou alors l'écriture X^3-X en tant qu'écriture formelle sans se préoccuper du résultat de cette somme
Le polynôme lui-même n'est donc pas une application
Alors que l'application polynômiale est une application
Pour moi, le polynôme X^3-X désigne uniquement sa suite de coefficients (1 0 1 0 dans ce cas-ci), ou alors l'écriture X^3-X en tant qu'écriture formelle sans se préoccuper du résultat de cette somme
Le polynôme lui-même n'est donc pas une application
Alors que l'application polynômiale
Dans ce cas, si
On commet bien un abus de notation dans cette écriture non ? Et on justifie qu'on peut le commettre "grâce" à l'isomorphisme ?
Dans ce cas, quand on écrit P(1), on parle de l'application polynômiale et non pas du polynôme, mais c'est sous-entendu
Et pour parler du polynôme, je n'écrirais pas P(X)=X^3-X car c'est une notation propre aux fonctions, mais simplement P = X^3-X
Non Zormuche, tu peux écrire les deux sans ambiguïté puisque P=P(X).
En fait, il manque peut-être à l'auteur de la question la notion d'algèbre sur un anneau. Si A est un anneau commutatif, on dit que (B,f) est une A-algebre si B est un anneau commutatif et f:A->B est un morphisme d'anneaux.
En particulier, si B est une algebre sur A c'est un module sur A.
On dispose d'une action (a,b) -> f(a).b de A sur B. On notera de manière abusive a.b = f(a).b
Cette structure permet d'évaluer n'importe quel élément de B en un polynôme à coefficient dans A. Autrement dit, on dispose d'un morphisme d'évaluation de P défini sur B.
Par exemple si A est un corps et E un et sur A, l'ensemble des endomorphismes L(E) de E est une algebre sur A. On peut évaluer un endomorphisme en un polynômes à coefficients dans A.
Une petite remarque : polynôme prend un accent circonflexe sur le o. Mais fonction polynomiale s'écrit sans accent circonflexe.
Je l'ai appris à mes dépens lorsqu'il m'a fallu corriger le manuscrit d'un livre après qu'un relecteur à cheval sur l'orthographe eut signalé cette erreur - et à l'époque un manuscrit n'était pas un document numérisé où on peut faire du "rechercher - remplacer" !