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polynômes indéterminées
Bonjour à tous, alors voilà je dois démontrer ceci:
n
(P*Q)^nsmb]somme[/smb] (n) P^(k) Q^(n-k)
k=0 (k)
et je ne sais pas par où commencer, mais j'ai une indication qui dit de le démontrer par récurrence, pouvez vous me donner quelques indications merci d'avance ^^.
Bonjour,
ce ne serait pas plutôt des dérivées nèmes ?
De plus que sont P et Q?
Merci de fournir un énoncé précis.
Tigweg
Ok bonjour Tigweg,
en faîte P et Q sont 2 polynômes dans K[x] et n appartient à un entier naturel et je dois démontrer cette formule par récurrence.
Bonjour (salut Tigweg 
)
Il s'agit sûrement de dérivées, et il manque des coefficients! Et de toute façon ça se démontre par récurrence.
bonjour camélia
ma formule à démontrer est :
(P.Q)^n = somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) P^(k) Q^(n-k)
Ah d'accord, donc:
(PQ)^0=PQ
somme de k=0 jusqu'à 0 (0 parmi 0) P^(0) Q^(0)= PQ
donc l'initialisation est réglée, maintenant l'hérédité c'est à dire que je suppose cette formule vrai au rang n et je dois là montrer au rang n+1 ??
Ecris ce que tu sais au rang n.
Ecris en-dessous ce ue tu veux prouver au rang n+1.
Quel est le rapport entre le membre de gauche au rang n+1 et le membre de gauche au rang n?
Déduis-en ce qu'on "doit" faire à la formule au rang n pour essayer de prouver celle au rang n+1.
petite question je viens de m'appercevoir que cette démonstration je l'ai faîte l'an dernier, mais pas avec des polynômes mais sous cette forme:
(a+b)^n=..............
Mais si je remplace a et b par P et Q est-ce que j'aurais là bonne démonstration car P et Q ici sont des polynômes ?????
NON!
Ce ne sont PAS des puissances mais des dérivées!!
Mais le résultat est analogue.
Autrement dit, tu peux quasiment t'inspirer de ta démo de Terminale, sans oublier qu'on dérive!
Oui!
Ah donc en faîte ce sont des dérivées car on parle de polynômes
>Non!C'est des dérivées à cause du symbole (n) au lieu de n plutôt...Ca a aussi un sens de prendre une puissance de poynôme!
Mais ton premier réflexe devrait être de te demander si tu as bien compris la quetsion avant de te lancer dans une éventuelle démonstraton
oui c'est vrai, j'ai tendance à me lancer tout de suite dans les démo, mais bon les démo servent à mieux comprendre la formule non ? ^^
Sinon je n'ai qu'à remplacer P et Q dans ma démo de mon cours et c'est réglé .
Merci pour ton aide , ça m'a ouvert les yeux sur le fait que c'est une formule qui dérive les polynômes. Merci encore c'était 
Avec plaisir! 
Par contre remplacer P et Q dans la démo ne marchera pas tout-à-fait, il faut garder à l'esprit qu'on dérive et adapter les formules
initialisation:
(PQ)^0=PQ
somme de k=0 jusque 0 (0 parmi 0) P^(0) Q^(0-0)=PQ
Hérédité:
supposons la formule vrai au rang n et montrons qu'elle est vrai au rang n+1:
(P+Q)^n+1 = (P+Q)^n * (P+Q)
=(somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) P^(k)*Q^(n-k)) * (P+Q)
d'après hypothèse d'induction (en gras)
=(somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) P^(k+1) Q^(n-k)) + (somme de k=0 jusquà n (k parmi n) P^(k) Q^(n-k+1)
= P^(n+1) + (somme k=0 jusqu'à n-1 (k parmi n) P^(k+1) Q^(n-k) + (somme k=1 jusqu'à n (k parmi n) P^(k) Q^(n-k+1) + Q^(n+1)
=P^(n+1) + (somme de k=1 jusqu'à n (k-1 parmi n) P^(k) Q^(n-k+1) + (somme k=1 jusqu'à n (k parmi n) P^(k) Q^(n-k+1) + Q^(n+1)
=P^(n+1) + (somme k=1 jusqu'à n [(k-1 parmi n)+(k parmi n)] P^(k) Q^(n-k+1) + Q^(n+1)
or [(k-1 parmi n)+(k parmi n)] c'est ( k parmi n+1) de PASCAL
donc:
= P^(n+1) + (somme k=1 jusqu'à n (k parmi n+1) P^(k) Q^(n-k+1) + Q^(n+1)
= (somme de k=0 jusqu'à n+1 ( k parmi n+1) P^(k) Q^(n+1-k)
= à ma formule en remplaçant n par n+1.
Voilà désolès pour le déchiffrage
C'est bien ca que je t'avais dit...Tu as oublié le fait qu'on dérivait, ce ne sont pas des puissances!
(P+Q)^n+1 = (P+Q)^n * (P+Q)
>Ca c'est archi-faux.
Déjà c'est PQ et pas P+Q!!
Ensuite c'est (PQ)(n) et pas (PQ)n
Enfin, par définition de la dérivée d'ordre n+1 :
A revoir donc!
Tu oublies décidément bien vite le problème initial!
J'ai trouvé, mais là c'est sûr , je vais tout détaillé ligne par ligne et tu me diras si c'est ok où pas (merci d'être aussi patient )
Alors voilà:
(PQ)^(n+1)= (PQ)^(n)*(PQ)
= (somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) P^(k) Q^(n-k)) * (PQ)
= (somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) P^(k+1)) * (somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) Q^(n-k+1))
Et que faire maintenant ???
C'est :
= (somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) P^(k+1)) * (somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) Q^(n+1-k))
Mais...c'est que tu insistes!!!
(PQ)^(n+1)= (PQ)^(n)*(PQ)
-> C'EST FAUX, combien de fois devrai-je te le répéter!!!!
Relis mon message de 17h48, ce ne sont PAS des PUISSANCES!
Bon c'est mieux mais c'est encore faux
Ne panique pas, on va y arriver!
L'hypothèse de récurrence te donne la valeur de la dérivée n ème, et on veut prouver que la dérivée (n+1) ème, qui n'est autre que la dérivée de la dérivée n ème, vaut quelque chose (peu importe quoi pour l'instant).
Il s'agit donc de calculer cette dérivée (n+1) ème à partir de la formule donnant la dérivée n ème, autrement dit de faire quoi à cette formule?
Ouh là pas du tout
On a dit que la dérivée n+1ème c'est la dérivée de l'hypothèse de récurrence!
Donc écris (PQ)(n+1)=(formule du membre de gauche dans l'hypothèse de récurrence)'=...et on dérive gentiment!
en faîte on dérive ça: (somme de k=0 jusqu'à n (k parmi n) P^(k)*Q^(n-k))
c'est de la forme U*V non!
c'est de la forme U*V non!
Ben non puisque c'est une somme!
On dérive chaque terme de la somme, donc chaque (k parmi n)P(k)Q(n-k).
Ta formule de 19h07 est fausse, je ne comprends pas comment tu fais pour inventer de nouvelles formules à chacun de tes messages!
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