Salut !

sauf erreur on peut faire ca :

Suposons qu'il n'y est qu'un nombre finit de nombre premier de la forme 3k-1, appelons les P1...Pn.

si n est pair :
alors P1*P2*..Pn + 1 est un nombre de la forme 3k-1 divisible par aucun des Pi : c'est impossible ! (si tous ces divisuer premier sont 3 et des 3k+1 alors il est de la forme 3u ou 3u+1...)

si n est impaire, on applique le meme argument a P1*P2...*Pn+3

J'ai bien peur que ça ne convienne pas

Déjà n est forcément pair car s'il était impair, 3n-1 serait pair, donc ne serait pas premier

Mais il a beau être pair, faut pas oublier qu'on suppose seulement que les nombres premiers de la forme 3k -1 sont fini, et pas les nombres premiers en général. Autrement dit ça n'est pas parce que ton nombre n'a aucun diviseur dans l'ensemble des premiers de la forme 3k-1 qu'il n'en a pas.

merci quand même pour ta réponse

euh tu devrait quand meme relire un tous petit peu plus attentivement ce que j'ai ecrit.

les deux cas que je traite correpondent à la partié de n Le nombre de nombre premier de la forme 3k-1. pas du k de 3k-1.


ensuite pour ta deuxieme objection, ce que j'utilise c'est qu'un nombre de la forme 3k-1 à forcement au moins un diviseur premier de la forme 3k-1

oué excuse moi j'avais pas fait assez attention à ce que tu appelais n.

pour n pair :

P1*P2*..Pn + 1 est de la forme 3k - 1 -> ok

n'est divisible par aucun des Pi  -> ok

Je dirai qu'on peut conclure que P1*P2*..Pn + 1 est premier avec tout Pi.
Par contre j'arrive pas à comprendre qu'aucun nombre premier autre qu'un de la liste ne peut le diviser.. je veux dire que dans les P1...Pn, y'a plein de nombres premiers qu'on n'a pas pris (par exemple 7 n'est pas dans la liste)

Donc par exemple : qu'est-ce qui montre que 7 ne divise pas P1*P2*..Pn + 1

"un nombre de la forme 3k-1 (non premier je suppose) a forcement au moins un diviseur premier de la forme 3k-1" ça je pige pas

Ce que je dit , c'est que P1*P2*..Pn + 1  n'a aucun facteur premier de la forme 3k-1. il n'est pas divisible par 3. donc ces facteur premier sont tous des 3k+1. P1*P2*..Pn + 1 est donc un produit de nombre congru a 1 modulo 3. donc est congru a 1 modulo 3 ce qui est contradictoire.

ça devient plus clair merci!

je me permet de résumer :

_ on suppose qu'il existe un nombre fini de nombre premiers de la forme 3k-1, notés P1,.., Pn

Si n est pair,

On pose Q = P1*P2*...*Pn + 1. On montre qu'il existe t tel que Q = 3t - 1, donc Q congru à 2 modulo 3

Q n'est pas premier, c'est le produit de d facteurs premiers notés mi.

on a pour tout i compris entre 1 et d :

_ 3 ne divise pas Q, donc mi n'est pas un multiple de 3 (mi différent de 3)
_ pour tout p compris entre 1 et n, 3p-1 ne divise pas Q (quelle justification donner?), donc mi n'est pas de la forme 3k-1

Donc mi est necessairement de la forme 3k+1. on a dont Q = produit des mi, on montre que le produit des mi est necessairement de la forme 3k+1, et donc que Q est congru à 1 modulo 3.

Finalement sous cette hypothèse, Q est à la fois congru à 1 et à 2 modulo 3, ce qui est impossible, on en conclue que Q est premier.


On fait le même raisonnement avec n impair, et finalement Q est premier, donc l'ensemble des nombres premiers de la forme 3k-1 est fini.

ça me parait très bien, merci beaucoup   il me manque juste la justification de "pour tout p compris entre 1 et n, 3p-1 ne divise pas Q" (bien que ça me paraisse logique...) Si tu veux bien me la donner ?

Merci !

non ce qu'on a c'est "aucun des Pi ne divise Q" car Q=P1*..Pn+1 ou P1*...Pn+3 donc les Pi ne peuvent pas diviser Q. (sinon ca implique Pi| 1 ou Pi|3...)

tout à fait d'accord, encore merci

Juste pour info, si qqn repasse par là, la méthode trouvée par Ksilver marche parfaitement, mais j'ai trouvé qu'on pouvait aussi le faire sans distinguer la parité du nombre de nombres premiers de la forme 3k-1;

Il s'agit de noter k le plus grand de ces nombres premiers, et de considérer Q = 3k!-1. Ensuite le raisonnement est exactement le même, mais on n'a un seul cas à envisager