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PREPA ECE : Dérivation exercice concours

Posté par
FaibleMaths
13-02-17 à 17:21

Bonjour;
Je suis en prépa ECE et j'ai beaucoup de mal avec un exercice; pourtant j'ai passé 3h à essayer ...
Voici mon énoncé :
Soit a appartenant aux réels positifs zéro exclu. Soit fa la fonction définie sur ]0;[ par fa(t)=1/2*(t+a2/t). Voici mon énoncé :
1)Calculer la limite de fa(t) lorsque t tend vers + ainsi que la limite de (fa(t)-1/2*t) lorsque t tend vers +. Interpréter graphiquement ce résultat.
2)Déterminer lim(fa(t)) quand t tend vers 0+. Interpréter graphiquement ce résultat
3)Justifier que fa est dérivable sur ]0;+[ et donner l'expression de sa dérivée
4)Dresser le tableau de variations de fa
5)En déduire que t>0, fa(t)a

Alors je vous explique pour chacune des questions ce que j'ai fait :
1) La limite de fa en plus l'infini j'ai trouvé +; celle de fa(t)-1/2*t en + j'ai trouvé + Je ne vois pas quelle interprétation graphique faire
2)La limite de fa en 0+ j'ai trouvé + Je ne vois pas quelle interprétation graphique faire ici non plus
3)J'ai décomposé l'expression, j'ai expliqué que tt est dérivable sur donc sur *+ et que ta2 est dérivable sur *+
Donc que par somme; t+a2/t est dérivable sur *+ et que par produit, 1/2*(t+a2/t) est dérivable sur *+.
En revanche je n'ai pas réussi à la dériver; sur un site de dérivées en ligne j'ai trouvé que je devais me retrouver avec fa'(t)= 1/2(1+a^2/t^2); mais je n'arrive pas à retrouver le résultat
4)Sans la dérivée je ne peux pas la faire
5)Je ne vois pas comment en déduire cela; sans doute que c'est dû au fait que mes réponses soient incomplètes

D'avance merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : PREPA ECE : Dérivation exercice concours 13-02-17 à 17:28

non, fa(t)-t/2 = a²/(2t) tend vers 0
géométriquement, ça veut dire que la droite y = t/2 est une asymptote oblique.
2) si la fonction tend vers l'infini au voisinage de 0 c'est qu'on a une asymptote verticale.

Citation :
je n'ai pas réussi à la dériver

tu la dérives comme une somme t/2 + a²/(2t), ça donne 1/2 -a²/(2t²) = 1/2(1-a²/t²)

Posté par
Camélia Correcteur
re : PREPA ECE : Dérivation exercice concours 13-02-17 à 17:28

Bonjour

Que trouves-tu pour f_a(t)-\dfrac{1}{2}t

Posté par
verdurin
re : PREPA ECE : Dérivation exercice concours 13-02-17 à 17:34

Bonjour,
pour la question tu fis une erreur en calculant la seconde limite.

f_a(t)-\frac12 t =\frac12\left(t+\frac{a^2}{t}\right)-\frac12 t =\frac12 t+\frac12\cdot\frac{a^2}{t}-\frac12 t=\frac{a^2}{2t}

Et la limite, quand t tend vers +, de cette expression est 0.

On en déduit que la droite d'équation y=\frac12 t est asymptote à la courbe de f_a en +.

Posté par
FaibleMaths
re : PREPA ECE : Dérivation exercice concours 13-02-17 à 18:06

J'avais trouvé 0 pour fa(t)-1/2*t; autant pour moi j'ai fait une erreur lorsque j'ai recopié les résultats que j'avais trouvé ... Merci en tout cas de votre implication !

Posté par
verdurin
re : PREPA ECE : Dérivation exercice concours 13-02-17 à 19:08

Citation :
sur un site de dérivées en ligne j'ai trouvé que je devais me retrouver avec fa'(t)= 1/2(1+a^2/t^2); mais je n'arrive pas à retrouver le résultat

Encore heureux, car il est faux.
Évite ce site.

Pour calculer la dérivée, comme tu l'as remarqué, il suffit de dériver t+a2/t.

La dérivée de tt par rapport à t est 1, par définition.
a2/t=a2(1/t) et la dérivée de  tt est t t(-1/t2) d'après une formule à connaître.

Finalement
f'_a(t)=\frac12\left(1+a^2\cdot\frac{-1}{t^2}\right)=\frac12\left(1-\frac{a^2}{t^2}\right)

Et pour étudier le signe on peut remarquer que le contenu de la parenthèse est de la forme a2-b2.



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