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Preuve - Dérivée de Tan(x)

Posté par xXxSamxXx (invité) 05-10-04 à 21:59

Bonjour a tous !
Bon voila mon probleme :
\lim_{h\rightarrow 0} \frac{Tan(x+h)-Tan(x)}{h}\\ \\ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{Sin(x+h)}{Cos(x+h)}-\frac{Sin(x)}{Cos(x)}}{h}\\ \\ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{Sin(x)Cos(h)+Sin(h)Cos(x)}{Cos(x)Cos(h)-Sin(x)Sin(h)}-\frac{Sin(x)}{Cos(x)}}{h}\\ \\ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{\frac{Sin(x)Cos(h)+Sin(h)Cos(x)}{Cos(x)Cos(h)}}{\frac{Cos(x)Cos(h)-Sin(x)Sin(h)}{Cos(x)Cos(h)}}-\frac{Sin(x)}{Cos(x)}}{h}\\ \\ \lim_{h\rightarrow 0} \\ \frac{\frac{\frac{Sin(x)}{Cos(x)}+\frac{Sin(h)}{Cos(h)}}{1-\frac{Sin(x)Sin(h)}{Cos(x)Cos(h)}}-\frac{Sin(x)}{Cos(x)}}{h}\\ \\ \lim_{h\rightarrow 0} \\ \frac{\frac{Tan(x)+Tan(h)}{1-Tan(x)Tan(h)}-Tan(x)}{h}\\ \\ \lim_{h\rightarrow 0} \\ \frac{\frac{Tan(x)+Tan(h)-Tan(x)+Tan^{2}(x)Tan(h)}{1-Tan(x)Tan(h)}}{h}\\ \\ \lim_{h\rightarrow 0} \\ \frac{Tan(x)+Tan(h)-Tan(x)+Tan^{2}(x)Tan(h)}{h-hTan(x)Tan(h)}

Ici pour continuer la dérivée que faut il faire ?
N'y aurait il pas une limite comme pour Sin et Cos ?
Sinon je sais que j'aurais pu utiliser le quotient rule, mais la c'est meme plus marrant...

Au fait, désolé pour les <br/> je sais pas d'ou ils viennnent...

Merci d'avance, et merci a tous les fans de \picomme moi

Posté par cloclo11 (invité)Preuve - Dérivée de Tan(x) 05-10-04 à 22:06

salut,
Tu peux t'en sortir en utilisant un point de départ...La fonction tan est dérivable en 0 et de nombre dérivé 1 en cepoint, donc (tanh)/h tend vers 1 qd h tend vers0 0.
Tu divises donc numérateur et dénominateur par h, et ...à toi de conclure.
Bon courage

Posté par
dad97 Correcteurre : Preuve - Dérivée de Tan(x) 05-10-04 à 22:11

Bonjour xXxSamxXx,

tan(x+h)-tan(x)=\frac{sin(x+h)}{cos(x+h)}-\frac{sin(x)}{cos(x)}
=\frac{sin(x+h)cos(x)-sin(x)cos(x+h)}{cos(x)cos(x+h)}
=\frac{sin((x+h)-x)}{cos(x)cos(x+h)}
=\frac{sin(h)}{cos(x)cos(x+h)}


d'où
\frac{tan(x+h)-tan(x)}{h}=\frac{1}{h}\frac{sin(h)}{cos(x)cos(x+h)}
=\frac{sin(h)}{h}\frac{1}{cos(x)cos(x+h)}

or lim (h-->0)\frac{sin(h)}{h}=1 et lim(h-->0)\frac{1}{cos(x)cos(x+h)}=\frac{1}{cos^2(x)}

donc (tan)'=\frac{1}{cos^2}

Si tu veux l'autre forme de la dérivée (tan)'=\frac{1}{cos^2}=\frac{sin^2+cos^2}{cos^2}=1+tan²

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : Preuve - Dérivée de Tan(x) 05-10-04 à 22:12

Pourquoi tu as posté cela en seconde ????

Posté par xXxSamxXx (invité)re : Preuve - Dérivée de Tan(x) 05-10-04 à 22:16

Ben je suis en seconde lol

Posté par xXxSamxXx (invité)re : Preuve - Dérivée de Tan(x) 05-10-04 à 22:16

En tout cas un grand merci a tous !

Posté par xXxSamxXx (invité)re : Preuve - Dérivée de Tan(x) 05-10-04 à 22:20

Ok merci dad97 tout compris


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