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Niveau Maths sup
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Preuve par induction d'une sommation

Posté par
uruo
04-04-13 à 01:29

Salut,
J'arrive par à solution une preuve par induction d'une sommation, pourriez-vous m'aider ?
Pour tout entier n strictement positif

Preuve par induction d\'une sommation

Posté par
boninmi
re : Preuve par induction d'une sommation 04-04-13 à 09:36

Hypothèse de récurrence :

Sn = 3n2

Posons ui = 2i + 1

Sn+1 = Sn - un + u2n + u2n+1

Posté par
PerArGal
re : Preuve par induction d'une sommation 04-04-13 à 09:41

Bonjour,

Je pense, que tu sais prouver que l'égalité est vraie pour les premiers termes de la suite Un = (2i+1) (pas pratique à écrire avec cet éditeur)


si tu calcules ensuite (Un+1) - (Un) = ...  - ...

tu devrais trouver que la différence est    [-(2n+1) + (2(2n)+1) + (2(n+1)+1)]

tu développes et réduis, tu ajoutes (Un) qui vaut 3n^2  et tu devrais trouver 3(n+1)^2



Posté par
delta-B
Preuve par induction d'une sommation 04-04-13 à 19:31

Bonjour.

@PerArgal.
  Je viens juste de me mettre au LaTeX (5 semaines). C'est rébarbatif au début mais on s'y fait. Téléchargez le guide Latex ou imprimez le (3 pages) pour l'avoir sous la main en cas de besion

je vais juste vous reprendre mais en LaTeX en gardant la notation originale S_n et en posant u_i=2i+1.

\normalsize {\blue{S_{n+1}=\sum_{i=n+1}^{2(n+1)-1}u_i}} \normalsize {\red{=\sum_{i=n+1}^{2n+1}u_i}=-u_n+\sum_{i=n}^{2n+1}u_i \large {\green{=\sum_{i=n}^{2n-1}u_i-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}}}} \large {\blue{=\sum_{i=n}^{2n-1}u_i-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}}}}  \Large =3n^2-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}=......}

je vous donne ci-dessous le code LaTeX en renommant les balises entre crochets "tex" par "bbb" (en gras souligné). l'expression a été décomposée en 4 blocs chacun écrit avec une couleur et de taille croisssante,le 3ème bloc est repris en bleu piur une meilleure lecture à l'écran. Les balises pour le gras et le souligné ne font partie du LaTeX et n'apparaissent pas à l'écran. Elles ont été utilisées pour l'affichage

[bbb]3${\blue{S_{n+1}=\sum_{i=n+1}^{2(n+1)-1}u_i}}[/bbb]  

[bbb]3${\red{=\sum_{i=n+1}^{2n+1}u_i}=-u_n+\sum_{i=n}^{2n+1}u_i[/bbb]
  
[bbb]4${\green{=\sum_{i=n}^{2n-1}u_i-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}}}}[/bbb]

[bbb]4${\blue{ =\sum_{i=n}^{2n-1}u_i-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}}}}[/bbb]  

[bbb]5$=3n^2-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}=......}[/bbb]

Bon courage pour le LaTeX et allez-y.

Posté par
PerArGal
re : Preuve par induction d'une sommation 04-04-13 à 19:46

MERCI!!!

C'est trop beau... Je sévis depuis récemment et essentiellement sur l'île des sciences physique, mais ce genre de souplesse commençait à me manquer sérieusement ....

Mais au fait ... le guide latex ... de 3 pages ... on le trouve où?

Posté par
carpediem
re : Preuve par induction d'une sommation 04-04-13 à 20:16

salut

pour info  ::: à droite de l'ancre un petit parchemin ... on clique dessus et trouve le trésor ....

Posté par
PerArGal
re : Preuve par induction d'une sommation 04-04-13 à 20:30

@uruo

Désolé pour ton post

Cela ne pouvait être qu'un épicurien pour faire cette remarque (le trésor est à portée de main si l'on accepte de ne pas regarder trop loin)... sauf que l'ancre ... elle est où?

Bon, j'admets la possiblité d'être idiot, puisque je serais déjà bien incapable de démontrer scientifiquement que ce post existe ...  (ce qui pourrait être l'objet d'un autre post d'ailleurs)

Posté par
delta-B
Preuve par induction d'une sommation 05-04-13 à 00:41

Bonjour.

@PerArGal

Ne t'énerves pas. Carpediem a juste voulu faire de l'humour.

Pour le lien c'est l'icône à droite dans la bande orange, et en disant ça j'ai peur de te froisser et encore plus si je disais voir [lien]

Posté par
PerArGal
re : Preuve par induction d'une sommation 05-04-13 à 08:53

@delta-B, @carpe diem

Enervé point du tout n'étais je (*) ... simplement amusé (au sens premier) de la formulation utilisée par Carpe diem ...

(*) je ne le suis jamais ...

Posté par
carpediem
re : Preuve par induction d'une sommation 05-04-13 à 18:58

Preuve par induction d\'une sommation


Posté par
carpediem
re : Preuve par induction d'une sommation 05-04-13 à 18:59

en plus c'est à gauche de l'ancre ....

Posté par
lafol Moderateur
re : Preuve par induction d'une sommation 05-04-13 à 22:22

Bonjour
la récurrence était imposée ? parce que ça va aussi vite de reconnaitre la somme de n termes de la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 2n+1, dernier terme 4n-1, donc somme = nombre de termes fois moyenne entre le premier et le dernier terme = n(3n) = 3n² ....

Posté par
PerArGal
re : Preuve par induction d'une sommation 05-04-13 à 22:41

Il me semble que l'objet de l'exercice était l'utilisation de la récurrence. En tout cas c'est comme cela que j'interprète le titre ...

Posté par
uruo
re : Preuve par induction d'une sommation 07-04-13 à 00:28

Merci bcp à vous tous pour les explications, c'est vrai en fin de compte je dois trouver (3n2+6n+3) équivalente pour n+1 dans 3(n+1)2=3n2+6n+3. mais je ne comprends pas toujours comment on a pu sortir la formule :

\normalsize {\blue{S_{n+1}=\sum_{i=n+1}^{2(n+1)-1}u_i}}\normalsize {\red{=\sum_{i=n+1}^{2n+1}u_i}=-u_n+\sum_{i=n}^{2n+1}u_i\large {\green{=\sum_{i=n}^{2n-1}u_i-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}}}} \large {\blue{ =\sum_{i=n}^{2n-1}u_i-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}}}}\Large =3n^2-u_n+u_{2n}+u_{2n+1}=......}

Merci encore pour votre aide.

Posté par
uruo
re : Preuve par induction d'une sommation 07-04-13 à 01:54

J'ai bien compris la formule, merci bcp les gars vous êtes vraiment des génies. Merci bcp

Posté par
delta-B
Preuve par induction d'une sommation. 07-04-13 à 02:22

Bonjour.

@uruo

Du moment que j'en suis l'auteur c'est à moi de répondre.

1) Première somme en bleu: C'est la définition de Sn+1 puis j'ai simplifié l'écriture de la borne supérieure de la la somme.

2) j'ai ajouté à la somme eu rouge le terme un  pour qu'elle commence à l'indice n (borne inférieure de de Sn), il fallait donc aussi retrancher un.

3) j'ai extrait de la 2ème somme en rouge les terme d'indice supérieur à 2n-1 pour faire apparaître Sn, les termes extraits sont u2n  et u2n+1 et j'ai utilisé l'hypothèse de récurrence Sn = 3n2.

Posté par
delta-B
re : Preuve par induction d'une sommation 07-04-13 à 02:24

Bonjour.

@uruo

Trop tard (pour moi) j'avais déjà envoyé le message.

Posté par
uruo
re : Preuve par induction d'une sommation 07-04-13 à 05:42

Un grand merci spécial à vous @delta-B, désolé si ta réponse t'appris le temps pour l'écrire, mais après mis mon message pour la formule j'ai essayé de la comprendre et j'ai trouvé la relation entre les bornes de la sommation et les éléments ajoutés. votre effort et très remarquables, tout mon respect pour vous. Et je remercie aussi les autres qui ont répondu à mon message. Merci à tous.



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