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Niveau Maths sup
primalité et irréductibilité dans Z
Posté par romu
Bonjour,
je n'arrive pas à montrer qu'un élément irréductible dans est aussi un élément premier.
Merci pour votre aide.
Tu peux aussi utiliser le lemme d'euclide (mais en fait c'est vrai dans un anneau principal parce que précsiement un anneau principal vérifie le lemme d'euclide!)
ah oui mais j'ai un souci justement,
avant dans les petites classes, j'avais cette définition d'élément premier dans :
Citation :
p est premier si p>1 et si ses seuls diviseurs sont 1 et p.
p est premier si p>1 et si ses seuls diviseurs sont 1 et p.
et le lemme d'Euclide:
Citation :
si p est premier, alors pour tous entiers, x et y tels que p|xy, p|x ou p|y.
si p est premier, alors pour tous entiers, x et y tels que p|xy, p|x ou p|y.
Le prof cette année nous donne cette définition d'élément premier:
Citation :
p est premier si pour tous entiers, x et y tels que p|xy, p|x ou p|y.
p est premier si pour tous entiers, x et y tels que p|xy, p|x ou p|y.
Donc maintenant c'est plus un lemme c'est une définition
ok, eje viens de saisir, la première définition qu'on a eu dans les petites classes était celles d'un nombre premier dans , si je l'étends dans
, ça donne plutôt:
Citation :
p est premier si |p|>1 et si ses seuls diviseurs sont 1, -1, p, -p.
p est premier si |p|>1 et si ses seuls diviseurs sont 1, -1, p, -p.
et cette définition se généralise en celle d'élément irréductible.
Et le lemme d'Euclide affirme la jonction en fait entre la notion d'élément irréductible et élément premier.
Oui, c'est normal car il y a distinction entre irreductible et premier!
Ce que tu appelait avant premiir est ici appelé irreductible (c'est a dire d'avoir pour unique diviseur p et 1)
Est ce que ca te parait clair que si p est premier il est irreductible.
Maintenant si p est irreductible (c'est à dire que ces seuls diviseur sont p et 1) alors si xy est dans (p) ou encore p|xy.
Soit p|x et c'est fini soit p ne divise pas x, mais alors p et x sont premiers entre eux, et par le lemme d'euclide p|y.
En fait en théorie des nombres un peu plus avancé la terminologie premier est reservée aux idéaux, alors qu'irreductible est dit des élements de l'anneau.
Un element est dit irreductible ssi il est non inversible et p=xy implique x ou y inversible, (c'est une généralisation de la notion de nombre premiers dans Z)
Un idéal est dit premier si A/I est intègre ou ce qui revient au même xy est dans I implique x ou y dans I.
Les idéaux principaux premiers sont toujours engendrés par des irreductibles!
Par contre il n'est pas vrai que les irreductibles engendrent des idéaux premiers. Si c'est le cas on dit que l'anneau vérifie le lemme d'euclide.
Enfin dans un anneau principal les notions coincident et un idéal est premier ssi il est engendré par un irreductible (dans ce cas il est même maximal!)
Est ce plus clair?