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Primitive

Posté par
Samsco 12-05-20 à 14:25

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice:

Soit la fonction f définie par :

f(x)=\dfrac{x²-2x-2}{x^3-1}

1- Determiner trois nombres réels a , b et c tels que :
\forall x \in \mathbb{R}-(1)~, f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x²+x+1}

2- En déduire la primitive de f sur ]-\infty ~;~1[ telle que :
F(-1)=-ln 2

Réponses :

\\ \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x²+x+1}=\dfrac{(a+b)x²+(a-b+c)x+a-c}{x^3-1}

Par identification :
a+b=1
a-b+c=-2
a-c=-2
Je vois pas comment résoudre

Posté par
heklare : Primitive 12-05-20 à 14:35

Bonjour

Écrivez b en fonction de a par exemple dans la première et reportez dans les autres
vous aurez ainsi un système en a et c  à résoudre

Posté par
Glapion Moderateurre : Primitive 12-05-20 à 14:38

Bonjour, résoudre 3 équations à 3 inconnues c'est classique. tu as deux méthodes :
- par substitution tu exprimes par exemple b = 1-a et tu remplaces dans les deux autres équations, tu te retrouves avec deux équations et deux inconnues.
- par combinaison de lignes. tu ajoutes par exemple membre à membre les deux premières équations, ça donne a+c = -1 et si tu l'ajoutes avec a-c = 2 ça donne 2a = 1 etc ....

sinon pour mémoire il y a des astuces qu'on peut utiliser à partir de

\dfrac{x²-2x-2}{x^3-1} = \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x²+x+1}

comme par exemple multiplier les deux cotés par x-1 et faire x = 1, ça donne immédiatement a = -1
on peut aussi multiplier les deux cotés par x et faire tendre x vers l'infini, ça donne 1 = a + b et comme on a déjà a on trouve b = 1-a = 2
enfin en faisant x = 0 on trouve c

Posté par
Samscore : Primitive 12-05-20 à 14:42

OK
a=1-b
a-b+c=-2<=>-2b+c=-3 (1)
a-c=-2<=>-b-c=-3 (2)

(1)<=> c=-3+2b

(2)<=> -b+3-2b=-3
      <=> -3b=-6
       <=> b=2

(1)<=> c=1

a=1-b=-1
On a :
a=-1 ; b=2 et c=1

Posté par
heklare : Primitive 12-05-20 à 14:45

Oui

Posté par
Samscore : Primitive 12-05-20 à 14:47

À part ça j'aimerais retrouver , a ,b et c , en utilisant seulement ça:

f(x)=\dfrac{x²-2x-2}{x^3-1}

Posté par
heklare : Primitive 12-05-20 à 16:24

Pouvez-vous être plus clair ?
On a bien utilisé ceci et la connaissance de la décomposition  ensuite c'est la résolution d'un système

Posté par
carpediemre : Primitive 12-05-20 à 18:05

salut

f(x) = \dfrac {x^2 - 2x - 1} {x^3 - 1} = \dfrac {(x - 1)^2 - 2} {(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \dfrac {x + 1} {x^2 + x + 1} - \dfrac 2 {(x - 1)(x^2 + x + 1)}

or x^2 + x + 1 - x(x - 1) = 2x + 1 = 2(x - 1) + 3 \iff x^2 + x + 1 - (x + 2)(x - 1) = 3

Posté par
Pirhore : Primitive 12-05-20 à 18:23

Bonjour,

@carpediem : es-tu sûr du numérateur de  ta 3e fraction?

Posté par
carpediemre : Primitive 12-05-20 à 19:51

avec un moins bien sûr !!

merci

Posté par
Samscore : Primitive 13-05-20 à 16:01

Bonjour à tous , j'étais sur l'autre depuis cet matin.

hekla @ 12-05-2020 à 16:24

Pouvez-vous être plus clair ?
On a bien utilisé ceci et la connaissance de la décomposition  ensuite c'est la résolution d'un système


Je parlais de la façon dont carpediem a développé

Posté par
heklare : Primitive 13-05-20 à 16:06

Mon interrogation a été émise avant le développement  de carpediem donc ce n'était pas là le problème

Posté par
Samscore : Primitive 13-05-20 à 16:19

carpediem @ 12-05-2020 à 18:05

salut

f(x) = \dfrac {x^2 - 2x - 1} {x^3 - 1} = \dfrac {(x - 1)^2 - 2} {(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \dfrac {x + 1} {x^2 + x + 1} - \dfrac 2 {(x - 1)(x^2 + x + 1)}

or x^2 + x + 1 - x(x - 1) = 2x + 1 = 2(x - 1) + 3 \iff x^2 + x + 1 - (x + 2)(x - 1) = 3
carpediem @ 12-05-2020 à 18:05

salut

f(x) = \dfrac {x^2 - 2x - 1} {x^3 - 1} = \dfrac {(x - 1)^2 - 2} {(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \dfrac {x + 1} {x^2 + x + 1} - \dfrac 2 {(x - 1)(x^2 + x + 1)}

or x^2 + x + 1 - x(x - 1) = 2x + 1 = 2(x - 1) + 3 \iff x^2 + x + 1 - (x + 2)(x - 1) = 3


Ça veut dire que je dois remplacer 2 par (x²+x+1)-x(x-1)-1 ?

Posté par
Samscore : Primitive 13-05-20 à 16:49

hekla @ 13-05-2020 à 16:06

Mon interrogation a été émise avant le développement  de carpediem donc ce n'était pas là le problème


Je voulais savoir comment écrire : \\ f(x)=\dfrac{x²-2x-2}{x^3-1} sous la forme f(x)= \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x²+x+1} sans avoir à rendre au meme dénominateur f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x²+x+1} et trouver a , et c par identification .
Je voulais trouver a , b et c seulement en partant de f(x)=\dfrac{x²-2x-2}{x^3-1}

Posté par
Samscore : Primitive 13-05-20 à 17:27

Bon  je continue la première méthode

a=-1 , b=2 et c=1

f(x)=-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x²+x+1} \\ \\ F(x)=-\ln(1-x)+\ln(x²+x+1)+c \\ \\ F(-1)=-ln 2 \iff -ln 2+\ln 1+c=-ln 2 \\ \iff c=0 \\ \\ F(x)=-\ln(1-x)+\ln(x²+x+1)

Posté par
Samscore : Primitive 14-05-20 à 22:44

Alors c'est bon?

Posté par
Pirhore : Primitive 14-05-20 à 22:49

Bonjour,

c'est juste mais tu pourrais peut-être tout "rassembler" dans un seul ln

Posté par
Samscore : Primitive 15-05-20 à 10:54

Voilà

F(x)=\ln(\dfrac{x²+x+1}{1-x})

Posté par
Pirhore : Primitive 15-05-20 à 11:04

OK  

Posté par
Samscore : Primitive 15-05-20 à 11:10

Merci à tous


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