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Primitive d'une fonction sous forme de polynôme de degré 3
bonjour bonjour!
voilà, je bloque sur une question de mon exercice de maths..
l'énoncé est celui-ci:
trouver une primitive F de la fonction f sur R telle que: F(x)=P(x)e2x où P est un polynôme de degré 3
Pour le reste je crois que je me suis débrouillé,
merci de votre aide par avance..
:)
Je suppose que c'est f(x) = x².e^(2x)
----
F(x)=P(x)e^(2x)
F(x) = (ax³ + bx² + cx + d).e^(2x)
F'(x) = (3ax² + 2bx + c).e^(2x) + 2.(ax³ + bx² + cx + d).e^(2x)
F'(x) = (2ax³ + (3a+2b)x² + (2b+2c)x + c + 2d).e^(2x)
Il faut F'(x) = f(x) -->
On a le système :
2a = 1
3a+2b = 0
2b+2c = 0
c + 2d = 0
Qui résolu donne : a = 1/2 ; b = -3/4 ; c = 3/4 et d = -3/8
Et donc :
F(x) = [(1/2)x³ - (3/4)x² + (3/4)x - (3/8)].e^(2x)
-----
Sauf distraction. Vérifie mes calculs.
woaw ! O_O
merci beaucoup de la réponse !
(une question au passage, le 2 en facteur est pour la dérivée de e(2x)?)
merci encore de ta réponse =)
bonjour tous les deux
si P(x) est de degré 2, le polynome de la primitive ne peut pas être de degré 3
le résultat ne peut être que faux, non ?
Je reprends avec f(x) = x²e^2x
sinon, sans supposer que la primitive de P(x)e^2x est de la forme Q(x)e^2x ( certains profs n'aiment pas et préfèrent des IPP 
)
u = x² => u' = 2x
v' = e^2x => v = (e^2x)/2
Somme(x²e^2x) = x²e^2x/2 - Somme(xe^2x)
puis :
u = x => u' = 1
v' = e^2x => v = (e^2x)/2
Somme(xe^2x) = xe^2x/2 - Somme(e^2x) = xe^2x/2 - e^2x/2 = (x-1)e^2x/2
d'où :
Somme(x²e^2x) = x²e^2x/2 - Somme(xe^2x) = (x²-x+1)e^2x/2
A vérifier, en ajoutant la constante...
Donc, avec f(x) = x^3.e^2x :
-----------
u = x^3 => u' = 3x²
v' = e^2x => v = (e^2x)/2
Somme(x^3e^2x) = x^3e^2x/2 - (3/2)Somme(x²e^2x)
puis :
u = x² => u' = 2x
v' = e^2x => v = (e^2x)/2
Somme(x²e^2x) = x²e^2x/2 - Somme(xe^2x)
puis :
u = x => u' = 1
v' = e^2x => v = (e^2x)/2
Somme(xe^2x) = xe^2x/2 - Somme(e^2x)/2 = xe^2x/2 - e^2x/4 = (2x-1)e^2x/4
d'où :
Somme(x²e^2x) = x²e^2x/2 - Somme(xe^2x) = (2x²-2x+1)e^2x/4
d'où
Somme(x^3e^2x) = x^3e^2x/2 - (3/2)Somme(x²e^2x) = x^3e^2x/2 - 3(2x²-2x+1)e^2x/8 = (4x^3-6x²+6x-3)e^2x/8
A vérifier, en ajoutant la constante
Distraction dans mon calcul, je corrige :
Je suppose que c'est f(x) = x².e^(2x)
----
F(x)=P(x)e^(2x)
F(x) = (ax³ + bx² + cx + d).e^(2x)
F'(x) = (3ax² + 2bx + c).e^(2x) + 2.(ax³ + bx² + cx + d).e^(2x)
F'(x) = (2ax³ + (3a+2b)x² + (2b+2c)x + c + 2d).e^(2x)
Il faut F'(x) = f(x) -->
On a le système :
2a = 0
3a+2b = 1
2b+2c = 0
c + 2d = 0
Qui résolu donne : a = 0 ; b = 1/2 ; c = -1/2 et d = 1/4
Et donc :
F(x) = [(1/2)x² - (1/2)x + (1/4)].e^(2x)
-----
Sauf nouvelle distraction.
Petite erreur aussi pour mikayaou
Sa ligne:
Somme(xe^2x) = xe^2x/2 - Somme(e^2x) = xe^2x/2 - e^2x/2 = (x-1)e^2x/2
devrait devenir:
Somme(xe^2x) = xe^2x/2 - Somme(e^2x) = xe^2x/2 - e^2x/
= (x-
)e^2x/2
Et sa réponse finale serait alors:
Somme(x²e^2x) = x²e^2x/2 - Somme(xe^2x) = (x²-x+ )e^2x/2
-----
à moins que, par erreur partagée, en voyant un x² dans x²exp(2x), Retardataire ait déduit, à tort, que le polynôme de la primitive était de degré trois...
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