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primitive de 1/(e^x +1)

Posté par
Chewpse 10-01-15 à 16:06

Voila tout est dans le titre, je cherche la primitive de 1/(e^x +1)
J'ai décidé de mettre l'equation sous la forme u'/u, j'ai donc multiplié par e^x:
J'ai donc: e^x/((e^x +1)e^x), puis (e^x/(e^x+1))*1/e^x, mais ensuite je ne sais pas comment faire, dois-je calculer la primitive de e^x/(e^x+1) et multiplier le résultat par 1/e^x ?, ou calculer les primitives des deux membres puis multiplier?
Merci!

Posté par
Jedoniezhre : primitive de 1/(e^x +1) 10-01-15 à 16:08

Bonjour,

\frac{1}{e^x+1}=(e^x+1)^{-1}

Posté par
Manny06re : primitive de 1/(e^x +1) 10-01-15 à 16:10

tu peux écrire 1=exx+1 -ex
et décomposer ta fraction en

Posté par
Jedoniezhre : primitive de 1/(e^x +1) 10-01-15 à 16:11

Bon, ce que je t'ai mis ne te servira pas, au temps pour moi.

\frac{1}{e^x+1}=\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}=1+....

Posté par
Manny06re : primitive de 1/(e^x +1) 10-01-15 à 16:11

je corrige 1 =(ex+ 1) - ex

Posté par
Lancasterre : primitive de 1/(e^x +1) 10-01-15 à 18:03

Bonjour,

Pour une autre manière de procéder : \frac{1}{1+e^x} = \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} .

Posté par
Lolo49re : primitive de 1/(e^x +1) 15-01-15 à 21:00

On va utiliser l'astuce suivante :

\dfrac{1}{e^x + 1} = 1 \times \dfrac{1}{e^x + 1} = \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}} \times \dfrac{1}{e^x + 1} =  \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}e^{x}+e^{-x}} = \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}

Ainsi, le numérateur devient, au signe près, la dérivée du dénominateur, et on obtient alors :

\dfrac{1}{e^x + 1} = - \dfrac{- e^{-x}}{1+e^{-x}}

Donc, une primitive recherchée est de la forme suivante :

- \ln\left( 1+e^{-x} \right) + k avec k \in \mathbb{R}

Et voilà !


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