Niveau terminale

primitive logarithme

Posté par ptitmiss (invité) 03-04-05 à 12:40

coucou
je suis en terminale Es et j'ai un petit problème avec une equation de logarithme.....je doi trouver la primitive de la fonction
2 ln(x+1)
et je ne trouve ulle part dans mes cours la primitive de la fonction logarithme
donc si quelqu'un pourrait m'aider
merci bcp .......

Posté par pietro (invité)re : primitive logarithme 03-04-05 à 13:15

Bonjour,
on peut s'inspirer du fait que une primitive de ln(x) est x.ln(x) - x (on obtient cela par la méthode par parties)
On vérifie facilement en dérivant.

Posté par jerome (invité)re : primitive logarithme 03-04-05 à 13:17

Salut,

Grace a une intégration par parties :
$\rm 2\Bigint ln(x+1)\;dx=2\Bigint 1\times ln(x+1)\;dx$

On pose :
$\rm u=ln(x+1)$
$\rm u'=\frac{1}{x+1}$
$\rm v=x$
$\rm v'=1$

On obtient :
$\rm \Bigint ln(x+1)\;dx=[x\times \ln(x+1)]-\Bigint\frac{x}{x+1}\;dx$
Grace a une décomposition en éléments simples :
$2$\rm \blue\fbox{\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}}$

D'ou :
$\rm \Bigint ln(x+1)\;dx=[x\times \ln(x+1)]-\Bigint1-\frac{1}{x+1}\;dx$
$\rm \Bigint ln(x+1)\;dx=[x\times \ln(x+1)]-[x-ln(x+1)]$
$\rm \Bigint ln(x+1)\;dx=x\times \ln(x+1)-x+ln(x+1)$
$5$\rm\red\fbox{\rm\Bigint ln(x+1)\;dx=(x+1)\ln(x+1)-x}$

Sans relecture
A+

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