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Primitives 7

Posté par
Samsco
07-05-20 à 23:50

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Dans chacun des cas suivants , déterminer les primitives de la fonction f sur \mathbb{R}

a)f(x)=\cos^4x
 \\ b)f(x)=sin^5x
 \\ c) f(x)=\cos^2.\sin^2x
 \\ d)f(x)=\sin^6x
 \\ e) f(x)=\cos^3x.\sin^2x
 \\ f) f(x)=\cos^2-\sin^2x
 \\

Réponses :

e) f(x)=\cos^2x-\sin^2x
 \\ f(x)=\cos(2x)
 \\ F(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)

Posté par
elmarsaoui
re : Primitives 7 08-05-20 à 00:44

edit : *** Bonsoir *** pour a, c,d et f le mieux c'est de linéariser et pour les autres il suffit d'utiliser la relation cos²x+sin²x=1 pour les ramener à des ecritures du type u'u^n

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 00:52

a) f(x)=\cos^4x
 \\ =(\cos²x)²
 \\ 
 \\ =\dfrac{1+\cos²(2x)}{2}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1+\dfrac{1+\cos(2x)}{2}}{2}
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\cos(2x)}{4}
 \\ 
 \\ F(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{8}\sin(2x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 00:57

a) f(x)=\cos^4x
 \\ =(\cos²x)²
 \\ 
 \\ =\dfrac{1+\cos²(2x)}{2}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1+\dfrac{1+\cos(2x)}{2}}{2}
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\cos(2x)}{4}
 \\ 
 \\ F(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{8}\sin(2x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
AnneDu60
re : Primitives 7 08-05-20 à 01:08

Bonsoir à toi

Très bien pour le e), l'idée de l'exercice est de se ramener à cos(nx) plutôt que des cos(x)^n car c'est beaucoup plus facile de calculer la primitive.
Connais-tu la formule d'Euler ?

cos(x)+isin(x)=e^{i.x} ?
Avec cela, essaye de montrer que   cos(x)=\frac{e^{i.x}+e^{-i.x}}{2}  
Essaye de trouver une formule semblable pour le sinus.
Tu auras une expression plus agréable, ce qui te permettra d'avancer.  

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 01:10

Euh désolé

a) f(x)=\cos^4x
 \\ =(\cos²x)²
 \\ 
 \\ =\dfrac{1+\cos²(2x)}{2}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1+\dfrac{1+\cos(4x)}{2}}{2}
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\cos(4x)}{4}
 \\ 
 \\ F(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\sin(4x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 01:15

Ça ne dérange pas si je fais ça sans la formule d'Euler ?

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 01:42

b)
f(x)=\sin^5x
 \\ =\sin x.(\sin^4x)
 \\ 
 \\ =\sin.x(\dfrac{1-\cos^2(2x)}{2})
 \\ 
 \\ =\sin x(\dfrac{1-\dfrac{1+\cos(4x)}{2}}{2})
 \\ 
 \\ =\sin x(\dfrac{1-\cos(4x)}{4})
 \\ 
 \\ =\dfrac{\sin x-\cos(4x).\sin x}{4}
 \\ 
 \\ =\dfrac{\sin x-\dfrac{1}{2}[sin(5x)-\sin(3x)]}{4}
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{1}{4}\sin x-\dfrac{1}{8}\sin(5x)+\dfrac{1}{8}\sin(3x)

F(x)=-\dfrac{1}{4}\cos x+\dfrac{1}{40}\cos(5x)-\dfrac{1}{24}\cos(3x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 02:10

c)

f(x)=\sin^6x
 \\ =\sin x.(\sin^5x)
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{1}{4}\sin x-\dfrac{1}{8}\sin(5x)+\dfrac{1}{8}\sin(3x)]
 \\ 
 \\ =\dfrac{1}{4}\sin^2x-\dfrac{1}{16}[\cos(4x)-\cos(6x)]+\dfrac{1}{16}[\cos(2x)-\cos(4x)]
 \\ 
 \\ =\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}\cos(2x)-\dfrac{1}{16}\cos(4x)+\dfrac{1}{16}\cos(6x)+\dfrac{1}{16}\cos(2x)-\dfrac{1}{16}\cos(4x)
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}\cos(2x)-\dfrac{1}{8}\cos(4x)+\dfrac{1}{16}\cos(6x)

F(x)=\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{32}\sin(2x)-\dfrac{1}{32}\sin(4x)+\dfrac{1}{96}\sin(6x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Priam
re : Primitives 7 08-05-20 à 10:45

a) 3/4 + cos(4x)/4  n'est pas égal à  cos4x .

Posté par
Priam
re : Primitives 7 08-05-20 à 10:58

b) et d) : remarques analogues.

Posté par
PLSVU
re : Primitives 7 08-05-20 à 10:59

Bonjour,
attention
 cos^4(x)=(cos^2(x))^2=(\dfrac{1}{2}(1+cos(2x))^2=\dfrac{1}{4}(1+2cos(2x)+cos^2(2x))
 \\  
 \\ =\dfrac{1}{4}(1+2cos(2x)+\dfrac{1}{2}(1+cos(4x))

je n'ai pas vérifié  les autres

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 13:56

OK je continue

a)

 cos^4(x)=(cos^2(x))^2=(\dfrac{1}{2}(1+cos(2x))^2=\dfrac{1}{4}(1+2cos(2x)+cos^2(2x))
 \\  
 \\ =\dfrac{1}{4}(1+2cos(2x)+\dfrac{1}{2}(1+cos(4x))=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{8}\cos(4x)

F(x)=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{4}\sin(2x)+\dfrac{1}{32}\sin(4x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Priam
re : Primitives 7 08-05-20 à 14:48

a) C'est juste.

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 17:03

b)
f(x)=\sin^5x
 \\ =\sin x.(\sin^4x)
 \\ 
 \\ =\sin.x[(\dfrac{1}{2}(1-\cos(2x)))²]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{1}{4}(1-2\cos(2x)+\cos²(2x))]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{1}{4}(1-2\cos(2x)+\dfrac{1}{2}(1+\cos(4x)))]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\cos(4x)]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{8}\cos(4x)]
 \\ 
 \\ =\dfrac{3}{8}\sin x-\dfrac{1}{4}[\sin(3x)-\sin(x)]+\dfrac{1}{32}[\sin(5x)-\sin(3x)]
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{5}{8}\sin x-\dfrac{9}{32}\sin(3x)+\dfrac{1}{32}\sin(5x)

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 17:12

Est ce que c'est juste?

Posté par
Priam
re : Primitives 7 08-05-20 à 17:19

Bel effort ! Malheureusement, ce n'est pas juste (je n'ai pas réussi à trouver l'erreur . . . )

Posté par
Priam
re : Primitives 7 08-05-20 à 17:25

L'erreur doit se situer dans l'avant-dernière ligne.

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 17:37

b)
f(x)=\sin^5x
 \\ =\sin x.(\sin^4x)
 \\ 
 \\ =\sin.x[(\dfrac{1}{2}(1-\cos(2x)))²]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{1}{4}(1-2\cos(2x)+\cos²(2x))]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{1}{4}(1-2\cos(2x)+\dfrac{1}{2}(1+\cos(4x)))]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\cos(4x)]
 \\ 
 \\ =\sin x[\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{8}\cos(4x)]
 \\ 
 \\ =\dfrac{3}{8}\sin x-\dfrac{1}{4}[\sin(3x)-\sin(x)]+\dfrac{1}{16}[\sin(5x)-\sin(3x)]
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{5}{8}\sin x-\dfrac{5}{16}\sin(3x)+\dfrac{1}{16}\sin(5x)

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 08-05-20 à 17:49

Bonjour,

je pense que l'erreur est ici ( en rouge)

Samsco @ 08-05-2020 à 17:03


=\dfrac{3}{8}\sin x-\dfrac{1}{4}[\sin(3x)-\sin(x)]+\dfrac{1}{\textcolor{red}{16}}[\sin(5x)-\sin(3x)]
 \\

Posté par
Priam
re : Primitives 7 08-05-20 à 17:58

Samsco, ton dernier résultat est juste.

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 08-05-20 à 18:05

Samsco désolé mais je n'avais pas vu ton post de 17:37, bizarre mais j'ai déjà eu la blague avec un message de malou qui n'apparaissait pas non plus ???

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 18:06

Oki ,c'est pas simple tout ça


F(x)=-\dfrac{5}{8}\cos x+\dfrac{5}{48}\cos(3x)-\dfrac{1}{80}\cos(5x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 18:08

Pirho @ 08-05-2020 à 18:05

Samsco désolé mais je n'avais pas vu ton post de 17:37, bizarre mais j'ai déjà eu la blague avec un message de malou qui n'apparaissait pas non plus ???

Oui ça arrive , pas grave.

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 08-05-20 à 18:15

remarque : pour  sin^6(x)  tu pouvais aussi développer en écrivant que

sin^6\,(x)=[sin^2\,(x)]^3=\left(\dfrac{1-cos\,(2x)}{2}\right)^3

et utiliser la formule cos(3a)=4\,cos^3(a)-3\,cos(a) pour remplacer cos^3(2\,x) dans le développement

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 18:19

C'est à dire

cos³(2x)=(cos(3x)+3cosx)/4

C'est ça que je remplace non?

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 08-05-20 à 18:24

cos(6x)=4\,cos^2(2x)-3\,cos(2x)

2\,x = \dfrac{6\,x}{3} comme a=\dfrac{3\,a}{3}

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 08-05-20 à 18:55

OK

sin^6\,(x)=[sin^2\,(x)]^3=\left(\dfrac{1-cos\,(2x)}{2}\right)^3
 \\ 
 \\ =\dfrac{1-3\cos(2x)+3\cos^2(2x)-\cos^3(2x)}{8}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1-3\cos(2x)+\dfrac{3}{2}(1+\cos(2x))-\dfrac{\cos(6x)+3\cos(2x)}{4}}{8}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1-3\cos(2x)+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\cos(2x)-\dfrac{1}{4}\cos(6x)-\dfrac{3}{4}\cos(2x)}{8}
 \\ 
 \\ =\dfrac{\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{4}\cos(2x)-\dfrac{1}{4}\cos(6x)}{8}
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{5}{16}-\dfrac{9}{32}\cos(2x)-\dfrac{1}{32}\cos(6x)

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 08-05-20 à 19:26

petite coquille ici

=\dfrac{1-3\cos(2x)+\dfrac{3}{2}(1+\cos(\textcolor{red}{4x}))-\dfrac{\cos(6x)+3\cos(2x)}{4}}{8}
 \\

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 09-05-20 à 17:23



sin^6\,(x)=[sin^2\,(x)]^3=\left(\dfrac{1-cos\,(2x)}{2}\right)^3
 \\ 
 \\ =\dfrac{1-3\cos(2x)+3\cos^2(2x)-\cos^3(2x)}{8}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1-3\cos(2x)+\dfrac{3}{2}(1+\cos(4x))-\dfrac{\cos(6x)+3\cos(2x)}{4}}{8}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1-3\cos(2x)+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\cos(4x)-\dfrac{1}{4}\cos(6x)-\dfrac{3}{4}\cos(2x)}{8}
 \\ 
 \\ =\dfrac{\dfrac{5}{2}-\dfrac{15}{4}\cos(2x)+\dfrac{3}{2}\cos(4x)-\dfrac{1}{4}\cos(6x)}{8}
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{5}{16}-\dfrac{15}{32}\cos(2x)+\dfrac{3}{16}\cos(4x)-\dfrac{1}{32}\cos(6x)

F(x)=\dfrac{5}{16}x-\dfrac{15}{64}\sin(2x)+\dfrac{3}{64}\sin(4x)-\dfrac{1}{192}\sin(6x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 09-05-20 à 17:24

Pour c) et e) je fais quoi?

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 09-05-20 à 17:43

c) cos^2(x) sin^2(x)=\dfrac{sin^2(2x)}{4}

ça devrait t'aider pour la e)

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 09-05-20 à 17:55

Pirho @ 09-05-2020 à 17:43

c) cos^2(x) sin^2(x)=\dfrac{sin^2(2x)}{4}

ça devrait t'aider pour la e)


Pas compris !

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 09-05-20 à 17:58

sin(2x)=2\,sin(x)\,cos(x), non?

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 09-05-20 à 18:07

C'est bon je vois

c) cos^2(x) sin^2(x)=\left(\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\right)\left(\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\right)=\left(\dfrac{1-\cos²(2x)}{4}\right)=\dfrac{sin^2(2x)}{4}

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 09-05-20 à 18:18

ça ne t'avance à rien

il faut faire apparaître du cos(4x) pour après trouver une primitive

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 09-05-20 à 18:24



c) cos^2(x) sin^2(x)=\left(\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\right)\left(\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\right)=\left(\dfrac{1-\cos²(2x)}{4}\right)=\dfrac{sin^2(2x)}{4}
 \\ 
 \\ =\dfrac{\dfrac{1}{2}(1-\cos(4x))}{4}
 \\ 
 \\ =\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}\cos(4x))
 \\ 
 \\ F(x)=\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{32}\sin(4x)+c~( c \in \mathbb{R})

e)~\cos^2(x).\sin^2(x)=\cos(x).\cos^2(x).\sin^2(x)=\cos(x)[\dfrac{\sin^2(2x)}{4}]
 \\ 
 \\ =\dfrac{1}{8}\cos(x)-\dfrac{1}{16}[\cos(4x).\cos(x)]
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{1}{8}\cos(x)-\dfrac{1}{16}\cos(3x)-\dfrac{1}{16}\cos(5x)
 \\ 
 \\ F(x)=\dfrac{1}{8}\sin(x)-\dfrac{1}{48}\sin(3x)-\dfrac{1}{80}\sin(5x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 09-05-20 à 18:29

juste une petite chose e) le 1er cos est cos³(x) et tu es passé un peu vite de la 1re ligne à la suivante

Posté par
Samsco
re : Primitives 7 09-05-20 à 18:31

Oui faut de frappe!

Merci pour tout !

Posté par
Pirho
re : Primitives 7 09-05-20 à 18:50

de rien



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