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Primitives

Posté par
Nelcar 08-02-21 à 14:15

Bonjour,
Voici un exercice que je n'arrive pas à trouver comment à fait le corrigé à savoir :
a) f(x) [ln(x)-3]/2x  sur l'intervalle ]0;+ l'infini[
b) g(x)=[x²-4x+6+x)/x sur  l'intervalle ]0;+ l'infini[
c) h(x)=1/[e2x(e-2x + 4)3 sur R

je commence d'abord par la a)
voici ce que j'ai fait
f(x)= (ln(x)-3)/2x= (1*ln(x)-3)/2*x = 1/2*(ln(x)-3)/x  mais je ne sais pas comment faire

MERCI pour votre aide

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 14:21

Bonjour
f(x)= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x}\times \ln x - \dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{x}


une primitive de u'u  est \dfrac{1}{2}u^2

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 15:08

Bonjour hekla
dans mon livre il n'y a pas cette formule
Peux-tu me décomposer ton résultat car je n'y arrive pas

MERCI

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 15:27

Vous devez avoir (u^n)'=nu^{n-1}u'

ce qui donne, lu dans l'autre sens,  une primitive de u^n u'  est \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}+C.

Vous l'avez appliqué certainement dans le cas particulier où la fonction est la fonction identité.

Exemple : une primitive de x^3   est  \dfrac{1}{4}x^4

Ici si l'on pose u( x)=\ln x alors u'(x)=\dfrac{1}x}.

Par conséquent  on peut considérer que  \dfrac{\ln x}{x}  est de la forme u'u

dont une primitive  est \dfrac{1}{2}u^2, soit en appliquant  \dfrac{1}{2}(\ln x)^2

Je vous laisse terminer la recherche d'une primitive de f

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 16:07

hekla
tu vas me prendre pour une nulle mais je ne comprends  tout, je suis perdue avec le n .
Je n'arrive pas à retrouver la primitive

Merci pour votre aide

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 16:33

Vous êtes bien d'accord que f(x) peut s'écrire comme je l'ai fait à 14 h 21

le seul morceau qui peut poser problème est \dfrac{1}{x} \ln x  

On peut bien remarquer que \dfrac{1}{x}  est la dérivée de \ln x on peut donc considérer que l'on a quelque chose de la forme  u'u D'accord jusque là ?

On sait que (uv)' =u'v+v'u par conséquent   si l'on prend u= v on obtient (uu)'=(u^2)'=uu'+u'u =2uu' D'accord ?

Pour passer à n  on le démontre par récurrence mais pour l'instant pas besoin de n  2 nous suffit.

Si la dérivée de u^2 est 2uu' alors une primitive de 2 uu' est u^2

Donc en divisant par 2 une primitive de uu' est \dfrac{1}{2}u^2

Toujours d'accord  Pas de question  ?

Revenons aux moutons
On peut bien considérer \dfrac{1}{x}\ln x  comme étant de la forme u'u

D'après ce que l'on vient de raconter une primitive  est \dfrac{1}{2}(\ln x)^2  

Parenthèse (Pour s'en persuader on peut dériver

\underbrace{(\ln (x))^2}_{u^2}=2\underbrace{\ln x}_u \times \underbrace{\dfrac{1}{x}}_{u'} et comme on avait 1/2 devant 2\times 1/2=1 on a bien récupéré comme dérivée \dfrac{1}{x}\ln x) fin de la parenthèse.

f(x)= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x}\times \ln x - \dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{x}

On peut donc maintenant conclure

F(x)=\dfrac{1}{2}\bigg (\dfrac{1}{2}(\ln x)^2\bigg)-\dfrac{3}{2}\ln x+c

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 16:40

Re,
oui justement je ne sais pas comment tu as fait pour trouver ce que tu m'as dit à 14 h 21 donc comme ça coince là, je ne peux continuer

MERCI

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 16:57

re,
tu mets :
On sait que (uv)' =u'v+v'u  par conséquent   si l'on prend u= v on obtient (uu)'=(u^2)'=  après je suis ok pour :
uu'+u'u =2uu'
ensuite tu mets :
Si la dérivée de u2 est 2uu' alors une primitive de 2 uu' est u2 je ne comprends pas pourquoi uu'   pour moi la dérivée de u2 est 2u
donc j'arrête là pour voir déjà cette partie

MERCI

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 17:01

f(x)=\dfrac{\ln x-3}{2x}

\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}  

Au lieu de réduire au même dénominateur  on disjoint les termes  

\dfrac{\ln x-3}{2x}=\dfrac{\ln x}{2x}+\dfrac{-3}{2x}

\dfrac{a}{b}= \dfrac{1}{b}\times a

d 'où \dfrac{\ln x}{2x}=\dfrac{1}{2x}\ln x

\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}

\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x}

Voilà on a tout coupé en petits morceaux  on rassemble  c'est identique pour la deuxième partie

\dfrac{\ln x-3}{2x}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x}\ln x- \dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{x}

D'accord ?

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 17:08

Non la dérivée de u^2  n'est pas 2u

exemple   Supposons que l'on veuille dériver la fonction définie par f(x)=(3x+5)^2

On a 2 possibilités  dériver directement ou développer d'abord

( 3x+5)^2= 9x^2+30x+25 on dérive  on a  18x+30

En posant  u(x)=3x+5 alors u'(x) =3 en appliquant 2uu' on a 2\times 3\times (3x+5)

On retrouve bien 18x+30

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 17:36

RE,
ok pour le message de 17 h 01 mais je pense que je ne saurai pas y arriver seule, c'est compliqué
oour la suite :
petite question quand je n'ai pas vu pour l'instant dans le livre 2uu', j'aimerai savoir quand on applique ceci ?

OK pour le reste mais je galère énormément. Je trouve que ce chapitre est compliqué

MERCI

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 17:53

C'est juste de la manipulation de fractions avec un peu d'entraînement  
Il est vrai que la dérivation est plus simple que l'intégration  D'un côté on arrive à calculer la dérivée mais on ne sait pas toujours trouver une primitive

Vous avez bien vu que la dérivée de u^2 est un cas particulier de uv
s'il y a le temps c'est peut-être écrit dans le cours  sinon c'est à vous d'y penser

On utilise cela quand on a besoin de dérivée une fonction comportant des carrés

pour g commencez par  écrire plus simplement la fraction

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 18:06

Re,

ok
pour la b) j'y suis arrivée c'est à dire la fonction g.
mais pour la c) c) h(x)=1/[e2x(e-2x + 4)3 sur R  là je galère
Comment puis-je mettre en route

MERCI

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 18:14

Celle-ci est un peu plus dure

\dfrac{1}{a}=a^{-1}\quad (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}

Quelle est la dérivée de \text{e}^{-2x}+4 ?

Qu'a-t-on alors ?

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 18:54

Re,
la dérivée est pour moi  -2xe(-2x+4)

MERCI

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 19:03

Ne mettez pas x comme symbole de la multiplication   *  ou \times  que vous trouvez dans \Pi  ou \times entre les balises tex


(\text{e}^{-2x}+4 )'=-2\text{e}^{-2x} était en dehors de l'exposant  

h=\dfrac{1}{2} u'u^n  donc H=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}

même principe que pour n=2 ici vous avez n=-3

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 19:04

Lire 4 était en dehors etc

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 19:32

Re,

u' c'est -2x-2x
et un c'est quoi ici

je n'y comprend rien

MERCI pour votre aide

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 20:06

\dfrac{1}{\text{e}^{2x}\times( \text{e}^{-2x}+4)^3}

= \left( \text{e}^{2x}\times (\text{e}^{-2x}+4)^3\right)^{-1}

= \text{e}^{-2x}\times( \text{e}^{-2x}+4)^{-3}

Ce sont les propriétés rappelées supra

D'accord ?  On pose \phi(x) = \text{e}^{-2x}+4

(\text{e}^u)'=u'\text{e}^u

donc \phi '(x)=-2\text{e}^{-2x} d'accord ?

on a donc

=\dfrac{-1}{2}\bigg(\underbrace{-2 \text{e}^{-2x}}_{\phi'}\times(\underbrace{( \text{e}^{-2x}+4)}_{\phi})^{-3}\bigg)

Une primitive de \phi^n \phi' est \dfrac{1}{n+1}\phi^{n+1}

Je vous laisse l'écrire

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 20:52

Re,
petite question le -1/2 ça vient d'où ?
Je suis nulle mais je n'arrive pas à l'écrire

1/(-3+1) 3+1

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 21:12

\phi'(x)=-2\text{e}^{-2x} or pour h(x) vous avez seulement   \text{e}^{-2x}

on va donc écrire

1=\dfrac{-1}{2}\times (-2) pour faire apparaître \phi'

\dfrac{-1}{2}\times \underbrace{(-2)\text{e}^{-2x}}_{\phi'}

maintenant on a bien pour h : \dfrac{-1}{2}\phi'\phi^{-3} une primitive sera alors

H(x)=\dfrac{-1}{2}\times \Bigg(\dfrac{1}{-3+1}\left(\text{e}^{-2x}+4}\right) ^{-3+1}\Bigg)

Non personne n'est nulle  Allez un peu de courage et vous y arriverez !

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 21:19

Re,
c'est quand même très compliqué.
Dernière question pour ce jour
ce que tu as mis c'est donc la primitive

mon corrigé avait mis :
H(x)=1/4(1/(e-2x+4)²

MERCI

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 21:32

On est bien d'accord  on a bien la même primitive si l'on ne met pas de constante

\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{4}

(\text{e}^{-2x}+4)^{-2}=\dfrac{1}{\text{e}^{-2x}+4}

d'où H(x)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{(\text{e}^{-2x}+4)^{2}}

De rien

Posté par
Nelcarre : Primitives 08-02-21 à 21:36

Re

Oui j'ai vu après envoi.

Merci. Bonne soirée.

Posté par
heklare : Primitives 08-02-21 à 21:42

Refaites l'exercice dans deux trois jours  S'il y a des questions  posez-les

Pour avoir  l'idée de considérer u^n il faut connaître le tableau des dérivées quasiment par cœur

Bon courage
Bonne soirée

De rien

Posté par
Nelcarre : Primitives 09-02-21 à 10:25

Bonjour hekla,

je viens seulement de voir ton message.
Oui  je vais essayer de le refaire d'ici quelques jours . Mais j'ai beaucoup de mal pourtant je connais pratiquement toutes mes dérivées.

Là j'ai un autre exercice que je vais mettre.

MERCI et bonne journée


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