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Niveau terminale
primitives : démonstration
Posté par tangentex4
Bonsoir à tous,
je suis en terminale S et je cherche une façon pour démontrer que toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I sans passer par les intégrales, quelqu'un a déjà fait ce théorème ?
merci d'avance 
Bonjour,
Après une petite recherche, j'ai trouvé ça, mais c'est très au-delà de la terminale...
Citation :
On note f la fonction continue sur I.
I étant un intervalle, on peut considérer un sous intervalle J qui soit fermé et borné.
Sur J, f est continue. On montre qu'elle est limite uniforme de fonctions polynômes (th de Bernstein).
Ensuite, il est clair que tout polynôme admet une primitive... On montre alors en choisissant bien des primitives des polynômes qui convergent uniformément vers f, qu'ils convergent aussi uniformément vers une fonction notée F. On montre que cette fonction F est dérivable et de dérivée égale à f.
On note f la fonction continue sur I.
I étant un intervalle, on peut considérer un sous intervalle J qui soit fermé et borné.
Sur J, f est continue. On montre qu'elle est limite uniforme de fonctions polynômes (th de Bernstein).
Ensuite, il est clair que tout polynôme admet une primitive... On montre alors en choisissant bien des primitives des polynômes qui convergent uniformément vers f, qu'ils convergent aussi uniformément vers une fonction notée F. On montre que cette fonction F est dérivable et de dérivée égale à f.
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