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Primitives: démonstration d une formule de cours
Bonsoir encore à toute l'équipe de l'île des mathématiques !
Voici une formule de cours que j'ai bien du mal à démontrer dans le cadre d'un cours sur les primitives:
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant des primitives sur I.
Soit x0 un réel sur I et y0 un réel quelconque alors il existe une unique primitive G de f sur I telle que :
G(x0) = y0
le but est de réussir à retrouver cette formule en la démontrant mais je ne vois pas comment faire.
pouvez-vous m'aider ?
je vous remercie d'avance pour votre aide apportée.
Bonjour,
c'est assez facile, parce que si tu reviens à la définition, tu sais que G et H sont deux primitives de f si H'=f=G'.
Notamment, que penses tu de (H-G)' ?
Bonjour
Tu n'as pas à démontrer l'existence puisqu'on te la dit. Il faut donc montrer l'unicité ... donc tu suppposes qu'il existe deux fonctions G et H telles que:
G' = f G(x0) = y0
H' = f H(x0) = y0
Et tu montres que G = H
Pour cela tu étudies G - H
(G-H) = 0
donc G = H
est-ce bien cela ?
(G - H)' = 0
donc G - H est constante. Il manque un argument pour dire G - H = 0
... qu'est-ce que tu n'as pas utilisé ?
je ne donc pas comment terminer la démonstration. désolé de ne pas savoir répondre
Bonjour
Il y a une hypothèse que tu n'as pas utilisée dans l'énoncé, regarde bien..
Désolé otto, loin de moi l'idée de te piquer la vedette...
f admet des primitives sur I donc F'= f
sinon je ne vois vraiment pas et pourtant je le relis l'énoncé !
puisque f admet des primitives sur I G(x0)=y0 et donc G'(xo) = f dans ce cas y0'=f est-ce cela ?
Nononon !!! Là c'est confus...
Tu as trouvé deux primitives G et H de f.
Tu sais que pour tout x réel G(x)-H(x) = a où a est une constante.
Et tu connais les valeurs de G et H en x0
Tu peux donc calculer G(x0)-H(x0)=a
Conclusion ?
G(x0)-H(x0) = 0
a=0
G(x0)=H(x0)
Presque !
C'est juste dans le désordre...
On sait que G(x0)=y0=H(x0)
Donc G(x0)-H(x0)=0
Or pour tout x réel : G(x)-H(x)=a
Donc a=0
Et pour tout x réel G(x)=H(x)
Ainsi, si f admet une primitive G sur I telle que G(x0)=y0, alors G est unique.
merci beaucoup de m'avoir aidé pour cette démonstration !
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