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Niveau école ingénieur
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principe de récurrence

Posté par
missmenoul
31-07-14 à 16:13

Bonjour
Pour n naturelle
Si un assertion P(n) est vrai et P(n+1) aussi est vrai mais il existe un n' tel que P(n') est fausse quelle conclusions peut on tiré ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : principe de récurrence 31-07-14 à 16:15

Bonjour

Ce serait bien que tu recopies un énoncé complet, avec tous les quantificateurs nécessaires.

Posté par
missmenoul
re : principe de récurrence 31-07-14 à 16:36

D'accord

** image supprimée **

Posté par
Wataru
re : principe de récurrence 31-07-14 à 16:40

Salut,

C'était vraiment difficile à recopier ? O_o
Bref, Je vois pas vraiment comment t'aider à part donner directement les réponses.

Pour la 2a on peut réfléchir par l'absurde en supposant que P(n0 - 1) soit vraie.
Pour la 2b pareil, on suppose qu'il existe un P(n) vrai avec n < n0
Pour la 2c c'est juste lire l'énoncé
Pour la 2d, se reporter à la 2c
Pour le 2e, se reporter à la 2d

En gros.

Posté par
missmenoul
re : principe de récurrence 31-07-14 à 16:51

non c'est juste parce que je fais plein de faute quand je recopie l'énoncé
je vais essayé et je vais te demander l'aide si j'aurai  besoin
généralement quand veut faire une démonstration par récurrence et le premier terme par exemple ne correspond pas cela veut dire que l'expression qu'on veut montrer est fausse ?
ou bien on essaie  avec un autre en supprimant l'autre d ensemble ?
je pense que j'ai mal posé la question !

Posté par
carpediem
re : principe de récurrence 31-07-14 à 20:19

salut

la propriété "10n + 1 est multiple de 9" est héréditaire ... et pourtant elle est fausse pour tout n ....

Posté par
missmenoul
re : principe de récurrence 01-08-14 à 22:32

Alors si le premier terme correspon pas en dit directement que l'expression est fausse !?

Posté par
Wataru
re : principe de récurrence 01-08-14 à 23:27

Hein ?!

Pas du tout, t'as du mal comprendre le post de carpediem.
Une propriété peut être vrai sur un ensemble et pas sur un ensemble plus gros.
Par exemple, ce n'est pas parce que 3 n'est pas un nombre pair qu'il n'existe pas de nombres pairs.

De la même façon, ce n'est pas parce qu'une propriété ne marche pas pour un rang qu'elle n'est pas vraie pour tous ceux qui suivent.
Le principe de récurrence transfère uniquement la valeur vraie au rang suivant : si la propriété est vraie pour le rang n alors elle est vraie pour le rang n+1.
Mais ça ne marche pas pour la valeur fausse : si la propriété est fausse pour le rang n, alors est est peut être fausse au rang n+1, ou peut être vraie.

Posté par
missmenoul
re : principe de récurrence 01-08-14 à 23:52

Merci beaucoup waratu oui c'est vrai j'ai pas compris ce que carpedium! Et merci pour la clarification oui c'est vrai on peut pas juger sur une expression just par un terme mais ma question était : est ce que en ce cas on élimine ce terme de l'ensemble de par exemple et on essaie avec un autre!  Et continue notre résolution normal!
(j'ai bien posé ma question)

Posté par
missmenoul
re : principe de récurrence 01-08-14 à 23:53

J'ai volu dire que j'ai mal posé ma question pas le contraire ( faute de frappe)

Posté par
ThierryPoma
re : principe de récurrence 01-08-14 à 23:56

Bonsoir,

Je garde ce fil, car, si j'ai le temps, je reviendrai pour préciser le tout.

Thierry

Posté par
ThierryPoma
re : principe de récurrence 02-08-14 à 10:56

Bonjour,

L'on suppose que l'on travaille dans une théorie mathématique \mathcal{T} plus forte que l'arithmétique formalisée. L'on considère une assertion P(\bullet) de \mathcal{T} et l'on suppose que l'on a montré dans \mathcal{T} que l'on a

P(0)\text{ et }\left(\forall\,n\right)\left(\left(n\in\N\text{ et }P(n)\right)\Rightarrow P(n+1)\right)\qquad(\star)

Le principe (métamathématique) de récurrence affirme alors que l'on a

\left(\forall\,n\right)\left(n\in\N\Rightarrow P(n)\right)\qquad(\diamond)

Autrement dit, l'on peut affirmer que l'on a P(n) dans \mathcal{T} pour tout entier n de \N à partir du moment où l'on a montré (\star) dans \mathcal{T}. Bien entendu, à la place de \N, l'on aurait pu se placer dans un sous-ensemble non vide \mathbb{I}\subset\N tel que, posant n_0=\min\,\mathbb{I}, l'on ait

\left(\forall\,n\right)\left(n\in\mathbb{I}\setminus\{n_0\}\Rightarrow n-1\in\mathbb{I}\right)

Peu importe... L'on peut à présent se demander : que faut-il établir pour ne pas avoir (\diamond) dans \mathcal{T} ? La réponse est simple :

\text{non}\,P(0)\text{ ou }\left(\exists\,n\right)\left(\left(n\in\N\text{ et }P(n)\right)\text{ et }\text{non}\,P(n+1)\right)

Je t'invite à comparer cette dernière relation avec (\star), ne serait-ce que pour bien comprendre ce qui est important, surtout concernant le rôle des quantificateurs (mais pas seulement !).

Thierry



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