Bonjour, j?ai besoin d?aide pour cet exercice à rendre **** s?il vous plaît :
Un nombre n participants (n>3), sont chacun leur tour seule dans une pièce. Dans cette pièce, le participant peu choisir d?ouvrir une porte menant à la pièce 1 ou menant à la pièce 2. Il ne savent pas ce que les autres participants ont choisi. X est la variable aléatoire donnant le nombre de participant se trouvant dans la pièce 1.
1)Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X.
2) En fonction de n, déterminer la probabilité qu?au moins un participant se trouve dans la pièce 1.
3)Un participant gagne le jeu s?il est seul dans une des deux pièces.
a)Démontrer que la probabilité qu?un joueur gagne est égal à n/2n-1
b)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel, n=>4, 2n=>n2
c) En déduire pour tout entier naturel
n=>4, 0<= n/2n-1<=2/n
d) Lorsque n est très grand que pensez-vou de ce jeu ?
Ma réponse à la question 1) est correcte ?
On répète n>3 ou je dois mettre n ?fois de manière identique et indépendante l?épreuve de Bernoulli qui consiste à observer si la participant choisi la porte 1 ou non. Le succès de cette épreuve est S: « le participant a choisi la porte 1 »
On a P(S)=1/2
La variable aléatoire X donnant le nombre de succès suit donc la loi binomiale B(n;1/2)
Merci d?avance
P(X=>1)= étant donné qu'il y a n spectateur ça me bloque
Si je mets P(X=>1)=1-P(X<1)=
1-( (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^n-1)
3)Un participant gagne le jeu s'il est seul dans une des deux pièces.
a)Démontrer que la probabilité qu'un joueur gagne est égal à n/2n-1
le participant est seul dans une pièce s'il est :
- soit seul dans la pièce 1, de probabilité ...?
- soit seul dans la pièce 2 : dans ce cas, tous les autres sont dans la pièce 1 : proba ...?
la proba attendue est la somme des deux précédentes
b) poser clairement la proposition P(k) à démontrer
puis dérouler la démo : initialisation, hérédité...
c) se déduit de a) et b) en manipulant correctement les puissances
P(X=>1)=1-P(X=1) ---- X est entier naturel, variable discrète
= 1-( (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^n-1) ----- oui
= à simplifier
Ma réponse à la seconde question est correcte ?
Les probabilités qu'il soit seul dans la pièce 1 ou seul dans la pièce 2 sont les mêmes ?
La probabilité qu'il soit seul dans la pièce 1 est (n-1)*1/2 ?
2) non, voir ci-dessus
3a) Les probabilités qu'il soit seul dans la pièce 1 ou seul dans la pièce 2 sont les mêmes ?
oui
p(X=1) =(n-1)/2 non montre comment tu as trouvé ceci
Ma réponse à 19h13 n'est pas correcte ?
3)a) je me suis dit qu'ils ont tous 1/2 chance de choisir une pièce donc si j'en enleve un (n-1) il sera tout seul...
Il fallait faire P(x=1) ?
p(X 1)
= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 * 1/2*1/2^n) ---- a^0 = 1, qq soit a
= ...
précise à chaque fois à quelle question tu réponds. merci.
p(X 1)
= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 * 1/2*1/2^n) ---- a^0 = 1, qq soit a
= 1- 1/2n
Pour simplifier à la 3)a)
(1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^(n-1)
1 parmi n=n
n*1/2=n/2
n/2*1/2^(n-1)
Après je ne sais pas
Et pour la question 2) il est à la puissance n-0 et non 0 ?
3)a)
p(X=1) = (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^(n-1)
1 parmi n=n oui
n*1/2=n/2---- ce n'est pas le mieux à faire : 1/2^1*(1-1/2)^(n-1) = (1/2)1 * (1/2)n-1 = (1/2)?
Et pour la question 2) il est à la puissance n-0 et non 0 ? pas compris
Pour la question 2)
= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 * 1/2*1/2^n) ici il est à la puissance n et non 0
= 1- 1/2n
3)a)
P(X=1) = (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^(n-1)
=n*1/2^1*1/2^(n-1)
=n*(1/2)^n ?
2)
= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 *1*1/2^n) ici il est à la puissance n et non 0 -- oui !
= 1- 1/2n oui
3)a)
P(X=1)=n*(1/2)^n ---- oui
2) mais donc si il est à la puissance n, 1/2*(1/2)^n=(1/2)^n+1 ça ne peut pas être 1- (1/2)^n le résultat mais 1- (1/2)^n+1 ?
Rasengan,
==> tout nombre mis à la puissance 0 est égal à 1 (4 fois que je le dis )
donc
p(X1) = 1 - p(X=0)
= 1 - [ (0 parmi n) * (1/2)0 * (1-1/2)n-0 ]
= 1 - [ 1 * 1 * (1/2)n ]
= 1 - (1/2)n
Ah d'accord oui effectivement désolé, je n'ai pas fait attention que le premier 1/2 est à la puissance 0...
Donc pour la 3)a)
P(X=1)=n*(1/2)^n=P(un seul participant dans la pièce 1)= P(un seul participant dans la pièce 2)
Donc P(un seul participant dans une pièce
=n*(1/2)^n)+ n*(1/2)^n
Après je ne sais pas comment faire
=2n(1/2)^n ?
Ah d'accord oui effectivement désolé, je n'ai pas fait attention que le premier 1/2 est à la puissance 0... :
3)a)
p(gagné) = p(X=1) + p(X=n-1) --- si besoin relire 19h05
P(X=1)=n*(1/2)^n ----- oui
p(X=n-1)=n*(1/2)^n ----- à démontrer
d'où
p(gagné) = 2n(1/2)^n ---- oui
latex à l'aide pour que tu y vois plus clair :
je te laisse retrouver l'énoncé
je m'absente et laisse la main si quelqu'un veut prendre la suite
à défaut, je reviens plus tard.
p(gagné) = p(X=1) + p(X=n-1)= 2n(1/2)^n
D'accord merci
Pour la 3)b)
Pour tout n>4, P(n) est la propriété : «2^n=>n^2 »
Initialisation: P(0) est-elle vraie ? Pour n=0, 2^0=1
et 0^2=0
Donc 2^0=>0^2
Donc P(0) est vraie
Hérédité : On suppose que pour un certain entier naturel k, la propriété P(k) est vrai c'est à dire que 2^k=>k^2. P(k+1) est-elle vraie ?
Démontrons que P(k+1) est vraie c'est à dire que
2^(k+1)=>(k+1)^2
Or 2^k=>k^2
Après je ne sais pas
3a)... tu dois transformer" pour arriver à l'énoncé.
3b) parfait pour le début
pour démontrer, tu peux partir de
(k+1)², développer...
Ah donc je développe P(k+1) et si je trouve P(k) c'est que P(k+1) est vraie ?
2^(k+1)=>(k+1)^2
2^(k+1)=>k^2+2k+1
Mais ensuite ?
excuse moi pour le retard... je reprends.
euh... ta 1ère phrase ne veut rien dire
==> j'ai lu trop vite, ton initialisation doit être pour n=4, reprends
---
(k+1)² = k² + 2k + 1 --- identité remarquable
d'après l'hypothèse de récurrence
2k k²
2k+1 ...?
et on veut montrer que ...? k² + 2k + 1
petite inéquation à résoudre.
Pour tout n=>4, P(n) est la propriété : «2^n=>n^2 »
Initialisation: P(0) est-elle vraie ? Pour n=4, 2^4=16
et 4^2=16
Donc 2^4=>4^2
Donc P(0) est vraie
Hérédité : On suppose que pour un certain entier naturel k, la propriété P(k) est vrai c'est à dire que 2^k=>k^2. P(k+1) est-elle vraie ?
Démontrons que P(k+1) est vraie c'est à dire que
2^(k+1)=>(k+1)^2
2^k+1=>k^2+2k+1 ?
il faut lire ce que j'écris
Mais la phrase d'apres l'hypothèse de récurrence est dans la démonstration que P(k+1) est vraie ou dans les phrases juste avant car vous n'avez pas la même rédaction pour les récurrences
2^k+1=2^k*2^1
2^(K+1)=>(k+1)^2
c)
en a), on a vu que p(gagné) =
en b) on a montré que
manipule cette inégalité pour montrer que p(gagné)
... tu peux par exemple commencer par ordonner les inverses...
2k+1=2k*2 ---- oui !
donc
2k k²
2k+1 2k²
et on veut montrer que 2k² k² + 2k + 1 pour n>=4
petite inéquation à résoudre.
Je n'ai pas mis les détails des calculs mais je les mettrais bien sur la feuille
k^2-2k-1=>0
Delta=8>0
K1=2,41
K2=-0,41
ok pour les racines
k^2-2k-1 est donc positif pour k supérieur à ...? (signe du trinome)
puis on n'oublie pas que les racines doivent être des entiers naturels
k>
Des entiers naturels donc j'arrondi à k1=2 et k2=-0 ?
k^2-2k-1 est donc positif pour k supérieur à 1 ?
k^2-2k-1 est donc positif pour k supérieur à 1 ? ---- non
regarde ici, au II 3-Fonctions du second degré : équations, signe et inéquations
signe du trinome
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