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Probabilité, récurrence

Posté par
Rasengan
29-11-20 à 18:30

Bonjour, j?ai besoin d?aide pour cet exercice à rendre **** s?il vous plaît :

Un nombre n participants (n>3), sont chacun leur tour seule dans une pièce. Dans cette pièce, le participant peu choisir d?ouvrir une porte menant à la pièce 1 ou menant à la pièce 2. Il ne savent pas ce que les autres participants ont choisi. X est la variable aléatoire donnant le nombre de participant se trouvant dans la pièce 1.

1)Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X.

2) En fonction de n, déterminer la probabilité qu?au moins un participant se trouve dans la pièce 1.

3)Un participant gagne le jeu s?il est seul dans une des deux pièces.

a)Démontrer que la probabilité  qu?un joueur gagne est égal à n/2n-1

b)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel, n=>4, 2n=>n2

c) En déduire pour tout entier naturel
n=>4, 0<= n/2n-1<=2/n

d) Lorsque n est très grand que pensez-vou de ce jeu ?

Ma réponse à la question  1) est correcte ?

On répète n>3 ou je dois mettre n ?fois de manière identique et indépendante l?épreuve de Bernoulli qui consiste à observer si la participant choisi la porte 1 ou non. Le succès de cette épreuve est S: « le participant a choisi la porte 1 »
On a P(S)=1/2
La variable aléatoire X donnant le nombre de succès suit donc la loi binomiale B(n;1/2)

Merci d?avance

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 18:57

bonsoir

loi binomiale B(n;1/2) oui
précise ce qui te bloque pour la suite.

2) p(X 1) = ...

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:01

P(X=>1)= étant donné qu'il y a n spectateur ça me bloque

Si je mets P(X=>1)=1-P(X<1)=
1-( (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^n-1)

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:05

3)Un participant gagne le jeu s'il est seul dans une des deux pièces.

a)Démontrer que la probabilité  qu'un joueur gagne est égal à n/2n-1

le participant est seul dans une pièce s'il est :
- soit seul dans la pièce 1, de probabilité ...?
- soit seul dans la pièce 2 : dans ce cas, tous les autres sont dans la pièce 1 : proba ...?

la proba attendue est la somme des deux précédentes

b) poser clairement la proposition P(k) à démontrer
puis dérouler la démo : initialisation, hérédité...

c) se déduit de a) et b) en manipulant correctement les puissances

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:08

P(X=>1)=1-P(X=1)   ---- X est entier naturel, variable discrète
= 1-( (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^n-1)  ----- oui
=  à simplifier

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:11

oups, n'importe quoi, je refais
P(X=>1)=1-P(X=0)   ---- X est entier naturel, variable discrète
=

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:11

Ma réponse à la seconde question est correcte ?

Les probabilités qu'il soit seul dans la pièce 1 ou seul dans la pièce 2 sont les mêmes ?

La probabilité qu'il soit seul dans la pièce 1 est (n-1)*1/2 ?

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:13

Ah d'accord donc

1-P(X<0)=
1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)

1- (1/2*1/2^n)
1-1/2^n+1

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:16

2) non, voir ci-dessus

3a) Les probabilités qu'il soit seul dans la pièce 1 ou seul dans la pièce 2 sont les mêmes ?
oui

p(X=1) =(n-1)/2 non  montre comment tu as trouvé ceci

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:19

Ma réponse à 19h13 n'est pas correcte ?

3)a) je me suis dit qu'ils ont tous 1/2 chance de choisir une pièce donc si j'en enleve un (n-1) il sera tout seul...
Il fallait faire P(x=1) ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:23

p(X 1)
= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 * 1/2*1/2^n)  ---- a^0 = 1,  qq soit a
= ...

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:24

3)a) Il fallait faire P(x=1)  oui

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:25

Ah d'accord et donc la
=1-1/2^n+1 ?

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:26

P(X=1)= (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^n-1) ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:28

précise à chaque fois à quelle question tu réponds. merci.

p(X 1)
= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 * 1/2*1/2^n)  ---- a^0 = 1,  qq soit a
=  1- 1/2n

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:29

19h25va votre message de 19h23 pour la question 2

A 19h26 la question 3)a)

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:29

3a )
P(X=1)= (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^(n-1)  oui, simplifie

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:29

ok

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:30

Mais pour la question 2 1/2*1/2^n = 1/2^n+1 et non 1/2^n

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:31

1/2^0 = 1

tout nombre mis à la puissance 0 est égal à 1

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:37

Pour simplifier à la 3)a)
(1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^(n-1)
1 parmi n=n
n*1/2=n/2
n/2*1/2^(n-1)
Après je ne sais pas

Et pour la question 2) il est à la puissance n-0 et non 0 ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:38

Rasengan @ 29-11-2020 à 19:11

3a) Les probabilités qu'il soit seul dans la pièce 1 ou seul dans la pièce 2 sont les mêmes ?


je t'ai dit oui,
mais il faudra que tu  calcules p(X=n-1) pour justifier ce que tu affirmes, d'accord ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:41

3)a)
p(X=1) = (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^(n-1)
1 parmi n=n   oui
n*1/2=n/2---- ce n'est pas le mieux à faire :  1/2^1*(1-1/2)^(n-1) = (1/2)1 * (1/2)n-1 = (1/2)?


Et pour la question 2) il est à la puissance n-0 et non 0 ? pas compris

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:48

Pour la question 2)

= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 * 1/2*1/2^n) ici il est à la puissance n et non 0
=  1- 1/2n

3)a)

P(X=1) = (1 parmi n)*1/2^1*(1-1/2)^(n-1)
                =n*1/2^1*1/2^(n-1)
               =n*(1/2)^n ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:51

2)
= 1 - p(X=0)
= 1-( (0 parmi n)*1/2^0*(1-1/2)^n-0)
= 1 - (1 *1*1/2^n) ici il est à la puissance n et non 0 -- oui !
=  1- 1/2n   oui

3)a)
P(X=1)=n*(1/2)^n ---- oui

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 19:55

2) mais donc si il est à la puissance n, 1/2*(1/2)^n=(1/2)^n+1 ça ne peut pas être 1- (1/2)^n le résultat mais 1- (1/2)^n+1 ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:03

Rasengan,
==> tout nombre mis à la puissance 0 est égal à 1  (4 fois que je le dis )

donc
p(X1) = 1 - p(X=0)
= 1 -  [  (0 parmi n) * (1/2)0 * (1-1/2)n-0 ]
=  1 -  [         1             *      1      *       (1/2)n ]
= 1 -  (1/2)n

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:09

Ah d'accord oui effectivement désolé, je n'ai pas fait attention que le premier 1/2 est à la puissance 0...

Donc pour la 3)a)

P(X=1)=n*(1/2)^n=P(un seul participant dans la pièce 1)= P(un seul participant dans la pièce 2)
Donc P(un seul participant dans une pièce
=n*(1/2)^n)+ n*(1/2)^n
Après je ne sais pas comment faire
=2n(1/2)^n ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:10

Ah d'accord oui effectivement désolé, je n'ai pas fait attention que le premier 1/2 est à la puissance 0... :

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:14

carita @ 29-11-2020 à 20:10

Ah d'accord oui effectivement désolé, je n'ai pas fait attention que le premier 1/2 est à la puissance 0... :
désolé

Pour la 3)a) P(X=1)=n*(1/2)^n=P(un seul participant dans la pièce 1)= P(un seul participant dans la pièce 2)
Donc P(un seul participant dans une pièce
=n*(1/2)^n)+ n*(1/2)^n
=2n(1/2)^n ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:17

3)a)
p(gagné) = p(X=1) + p(X=n-1)   --- si besoin relire 19h05

P(X=1)=n*(1/2)^n      ----- oui

p(X=n-1)=n*(1/2)^n     ----- à démontrer

d'où
p(gagné)  = 2n(1/2)^n   ---- oui

latex à l'aide  pour que tu y vois plus clair : 2n * \dfrac{1}{2^n} = 2n * \dfrac{1}{2^{n-1} * 2} = ...

je te laisse retrouver l'énoncé
je m'absente et laisse la main si quelqu'un veut prendre la suite
à défaut, je reviens plus tard.

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:35

p(gagné) = p(X=1) + p(X=n-1)= 2n(1/2)^n

D'accord merci

Pour la 3)b)

Pour tout n>4, P(n) est la propriété : «2^n=>n^2 »
Initialisation: P(0) est-elle vraie ? Pour n=0, 2^0=1
et 0^2=0
Donc 2^0=>0^2
Donc P(0) est vraie

Hérédité : On suppose que pour un certain entier naturel k, la propriété P(k) est vrai c'est à dire que 2^k=>k^2. P(k+1) est-elle vraie ?
Démontrons que P(k+1) est vraie c'est à dire que
2^(k+1)=>(k+1)^2

Or 2^k=>k^2
Après je ne sais pas

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:45

3a)... tu dois transformer" pour arriver à l'énoncé.

3b) parfait pour le début

pour démontrer, tu peux partir de
(k+1)², développer...

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 20:47

Ah donc je développe P(k+1) et si je trouve P(k) c'est que P(k+1) est vraie ?



2^(k+1)=>(k+1)^2

     2^(k+1)=>k^2+2k+1
Mais ensuite ?

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:11

S'il vous plaît ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:18

excuse moi pour le retard... je reprends.

euh... ta 1ère phrase ne veut rien dire

==> j'ai lu trop vite, ton initialisation doit être pour n=4, reprends

---

(k+1)² = k² + 2k + 1  --- identité remarquable

d'après l'hypothèse de récurrence
2k
2k+1 ...?

et on veut montrer que ...? k² + 2k + 1
petite inéquation à  résoudre.

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:24

Pour tout n=>4, P(n) est la propriété : «2^n=>n^2 »
Initialisation: P(0) est-elle vraie ? Pour n=4, 2^4=16
et 4^2=16
Donc 2^4=>4^2
Donc P(0) est vraie

Hérédité : On suppose que pour un certain entier naturel k, la propriété P(k) est vrai c'est à dire que 2^k=>k^2. P(k+1) est-elle vraie ?
Démontrons que P(k+1) est vraie c'est à dire que
2^(k+1)=>(k+1)^2

2^k+1=>k^2+2k+1 ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:28

commence comme je t'ai montré à la fin de mon dernier message

rappel 2k+1 = 2k * ...?

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:31

Je commence comme ça ? Il n'y'a pas de Or à mettre ?

2^k+1=>k^2+2k+1
2^k*2^k =>k^2+2k+1 ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:34

il faut lire ce que j'écris

carita @ 29-11-2020 à 21:18

d'après l'hypothèse de récurrence
2k
2k+1 ...?

et on veut montrer que ...? k² + 2k + 1
petite inéquation à  résoudre.


carita @ 29-11-2020 à 21:28

rappel 2k+1 = 2k * ...?

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:36

Mais la phrase d'apres l'hypothèse de récurrence est dans la démonstration que P(k+1) est vraie ou dans les phrases juste avant car vous n'avez pas la même rédaction pour les récurrences

2^k+1=2^k*2^1
2^(K+1)=>(k+1)^2

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:37

c)
en a), on a vu que p(gagné) = \dfrac{n}{2^{n-1}}

en b) on a montré que 2^n \geq  n^2

manipule cette inégalité
  pour montrer que p(gagné) 
 \\   \leq \dfrac{2}{n}

... tu peux par exemple commencer par ordonner les inverses...

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:40

2k+1=2k*2 ---- oui !

donc
2k
2k+1 2

et on veut montrer que 2k² k² + 2k + 1     pour n>=4
petite inéquation à  résoudre.

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:47

Je dois isoler k ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:49

réduire puis résoudre 2k² k² + 2k + 1

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:51

tu ramènes à une forme ak² + bk + c 0
puis tu résous comme tu as l'habitude (delta, racines, signe)

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:54

Je n'ai pas mis les détails des calculs mais je les mettrais bien sur la feuille
k^2-2k-1=>0

Delta=8>0

K1=2,41

K2=-0,41

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 21:57

ok pour les racines

k^2-2k-1  est donc positif pour k supérieur à  ...?  (signe du trinome)

puis on n'oublie pas que les racines doivent être des entiers naturels

Posté par
Rasengan
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 22:01

k>

Des entiers naturels donc j'arrondi à k1=2 et k2=-0 ?

k^2-2k-1  est donc positif pour k supérieur à 1 ?

Posté par
carita
re : Probabilité, récurrence 29-11-20 à 22:02

k^2-2k-1  est donc positif pour k supérieur à 1 ? ---- non

regarde ici, au II 3-Fonctions du second degré : équations, signe et inéquations
signe du trinome

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