Bonjour à tout le monde, en ce jour de pluie sur la france, je pense qu'il est nécessaire de faire des maths pour s'occuper!

Je vous expose mon problème d'abord :
On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour, en une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant une année suit une loi binomiale; on estime l'espérance mathématiques de Sn notée E(Sn) est égale à 10.
Soit p la probabilité pour u scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée.

1) Calculer p puis justifier l'égalité P(Sn = k) = (nk) (10/n)^k (1-10/n)^k où k est un entier naturel tel que 0kn.

2)
a) Etablir l'égalité : ln[P(Sn = 0)] = -10 x [ln(1-10/n)]/(-10/n) où ln désigne la fonction logarithme népérien.

b) En déduire que lim P(Sn = 0) = e^-10 quand n+. On admet que lim [ln(1+h)]/h = 1 quand lim h0.

c) Démontrer que P(Sn = k+1) = P(Sn = k) x (n-k)/(n-10) x 10/(k+1) où k est un entier naturel tel que 0kn-1.

d)Démontrer que si lim P(Sn = k) = e^-10 x 10^k/k! quand n+ pour 0kn alors on a également lim P(Sn = k+1) = e^-10 x 10^k+1/(k+1)! quand n+ pour 0k+1n.

e) Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l'entier k que : lim P(Sn = k) = e^-10 x 10^k/k! quand n+ où k est un entier naturel tel que 0kn.

Voila le programme.

La question 1) est terminée, je trouve p=10/n puis j'ai justifié l'égalité avec la formule du cours.

Pour la 2)a), je remplace avec l'égalité de 1) et j'arrive sur ln[P(Sn = 0)] = ln[(1-10/n)ⁿ]. Je ne tombe pas du tout sur l'égalité que je dois trouver!

Pour le b), avec ce que l'on a dmit, je trouve lim P(Sn = 0) = -10 x 1 quand n+, j'ai du faire une erreur de compréhension.

Pour le c), le d) et le e), je bloque totalement, je n'arrive à rien.

Merci a tout le monde de m'aider pour ce problème!