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Problème

Posté par
Samsco
21-07-20 à 15:59

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

1. Étudier les variations de la fonction p définie par: P(x)=x²-6x+5

2. On considère la fonction f de R vers R définie par :
f(x)=(ln x)²-6ln x+5

Déduire de l'étude précédente le sens de variation de f .

3. Calculer les dérivées f' , f'' de f.

Quelle est la valeur x0 de x pour laquelle f"(x0)=0?

Calculer le coefficient directeur de la tangente (D) au point M0 d'abscisse x0.

4. On considère la fonction g de R vers R définie par:
g(x)=(ln x)²-6ln x+5-x+5

Calculer les dérivées g' et g" de g et en déduire son signe .
Démontrer que , pour x>e4 , la courbe représentative (C) de f est situéeau-dessous de sa tangente (D) en M0.

Étudier les positions relatives de (C) et (D) pour x<e4.

Réponses :

1. Dp=R

\forall x \in \mathbb{R}~,~P'(x)=2x-6
 \\ 
 \\ P(3)=0
 \\ 
 \\ \forall x \in ]-\infty~;~3[~P'(x)<0
 \\ 
 \\ \forall x \in ]3~;~+\infty[~,PC(x)>0

La fonction P est strictement décroissante sur ]-\infty~;~3[ et est strictement croissante sur ]3~;~+\infty[

2. La fonction f est la composée de la fonction ln x et de la fonction P
f=P(ln x)
Df=]0 ; +[

_ P est définie sur R
_ln x est définie sur ]0 ; +[ R.

La fonction ln x est strictement croissante sur ]0 ; +[ et l'image de ]0 ; +[ par la fonction ln x est R.
_ La fonction P n'est pas monotone sur R

Decoup je ne sais pas quoi déduire.

3.

\forall x>0~,~f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{6}{x}
 \\ 
 \\ \forall x>0~,~f'(x)=\dfrac{2\ln x-6}{x}

\forall x >0 ~,~f''(x)=\dfrac{(2/x)x-2\ln x-6}{x²}
 \\ 
 \\ \forall x>0~,~f

Le coefficient directeur de la tangente à (C) au point d'abscisse x0 est -2/e²

4.

\forall x>0~,~g'(x)=\dfrac{2\ln x-6}{x}-1
 \\ 
 \\ \forall x>0~,~g'(x)=\dfrac{2\ln x-x-6}{x}
 \\ 
 \\ \forall x>0~,~g

Posté par
Samsco
re : Problème 21-07-20 à 16:40



1. Dp=R

Pour tout x R , P'(x)=2x-6

Pour tout x>0 , 2x-6>0 <=> x>3

Pour tout x<0 , 2x-6<0 <=> x<3

La fonction P est strictement décroissante sur ]-\infty~;~3[ et est strictement croissante sur ]3~;~+\infty[

2. La fonction f est la composée de la fonction ln x et de la fonction P
f=P(ln x)
Df=]0 ; +[

_ P est définie sur R
_ln x est définie sur ]0 ; +[ R.

La fonction ln x est strictement croissante sur ]0 ; +[ et l'image de ]0 ; +[ par la fonction ln x est R.
_ La fonction P n'est pas monotone sur R

Ducoup je ne sais pas quoi déduire.

3.

f"(x)=\dfrac{2-2\ln x+6}{x²}=\dfrac{8-2\ln x}{x²}

f"(x0)=0
<=> 8-2ln x=0
<=>2ln x=8
<=> ln x=4
<=> x=e⁴

f'(x0)=2/e⁴

Le coefficient directeur de la tangente à (C) au point Mo est 2/e⁴

Posté par
hekla
re : Problème 21-07-20 à 17:09

Bonjour

question 1 oui  mais un peu lourd  pour l'étude d'une fonction du second degré

Soit h la fonction définie par h(x)= \ln(x) par conséquent f= p\circ h

Si les deux fonctions ont même sens de variation  alors la composée est croissante  sinon elle est décroissante

 f ' et f ''  oui

x_0= \text{e}^4

f '(x_0)=\dfrac{2}{\text{e}^4}


Posté par
hekla
re : Problème 21-07-20 à 17:24

Question 4

 g(x)=f(x)-x+5 \quad g'(x)=f'(x)-1 \quad g ''(x)= f''(x)

Si  x>\text{e}^4,\quad g''(x) <0  donc sur  ]\text{e}^4~;~+\infty[ \ g' est décroissante

g'(e^4)=\dfrac{2-\text{e}^4}{\text{e}^4}<0

Posté par
Samsco
re : Problème 22-07-20 à 14:47

2.

_La fonction P est strictement décroissante pour x<3 et strictement croissante pour x>3

_La fonction ln x est strictement croissante pour x>0

La composée est croissante ( ou décroissante ) sur quelle intervalle ?

Posté par
larrech
re : Problème 22-07-20 à 15:12

Bonjour,

P est définie sur ]- , +[, passe par un minimum pour x=3 et s'annule pour x=1 et x=5.

Il en va de même pour f en fonction de la variable X=lnx :

f est définie pour lnx]- , +[, passe par un minimum pour lnx=3 en s'annulant pour lnx=1 et lnx=5.

Il te reste à voir comment varie x quand lnx décrit, et quelles sont les valeurs remarquables relatives à la fonction f correspondantes.

Posté par
hekla
re : Problème 22-07-20 à 15:39

Il n'y a pas le choix

les deux sont strictement croissantes sur ]3~;~+\infty[

et sur ]-\infty ~ ;~3[ l'une est strictement croissante et l'autre strictement décroissante

Posté par
Samsco
re : Problème 26-07-20 à 16:15

La fonction ln x n'est pas définie sur ]- ; 3[

Sinon puisque les deux fonctions sont croissante sur ]3 ; +[ alors la composée est croissante sur ]3 ; +[

Posté par
hekla
re : Problème 26-07-20 à 16:28

Il aurait fallu se limiter à  ]0~;~3[ qui est l'ensemble de définition de f

Posté par
Samsco
re : Problème 26-07-20 à 16:39

Ah d'accord , je pensais qu'il fallait rajouter l'image de ]0 ; +[ par la fonction P dans la rédaction.

Posté par
hekla
re : Problème 26-07-20 à 16:59

Il y a quelques problèmes car la courbe ne donne absolument pas cela

on aurait décroissante jusqu'à 20 et croissante ensuite

Problème

Posté par
Samsco
re : Problème 26-07-20 à 18:05

Quel est ma faute ?

Posté par
hekla
re : Problème 26-07-20 à 18:34

La mienne aussi

  reprenons la définition d'une fonction croissante  x_1< x_2

la fonction \ln est croissante   sur  ]0~;~+\infty[ on a donc \ln x_1<\ln x_2

Pour pouvoir appliquer la croissance de p il faut donc que \ln x soit supérieur  à 3  donc que x  soit supérieur à  \text{e}^3\approx 20,0855

reprenons on considère deux réels quelconques x_1 et x_2 tous les deux supérieurs à \text{e}^3

\text{e}^3<x_1<x_2  on applique la fonction \ln d'où 3< \ln x_1<\ln x_2


on applique p maintenant donc puisque elle est croissante  p(3)<f(x_1)<f(x_2)  il en résulte  que f est croissante sur ]\text{e}^3~,~+\infty[
 \\

  

Posté par
Samsco
re : Problème 26-07-20 à 18:54

J'ai pas compris mais on ne peux pas le faire en se servant de la propriété :

_v est une fonction définie sur un intervalle L
_ u est une fonction deinie sur un intervalle K et à valeurs dans L.

Si u et v sont strictement monotones et ont le même sens de variation ,alors la composée vou est strictement croissante sur K.

Si u et v sont strictement monotones et ont des sens de variation différents , alors la composée vou est décroissante sur K.

Posté par
hekla
re : Problème 26-07-20 à 19:07

Si mais le problème est bien la définition de l'intervalle  

pour que p soit croissante il faut que \ln(x) soit supérieur à 3 donc x supérieur à  \text{e}^3

Posté par
Samsco
re : Problème 01-08-20 à 12:47

P est croissante pour x>3

Donc P(ln x) est croissante pour ln x >3 => x>e³

P(3)=3²-6×3+5=-4

Pourquoi vous avez mis e³ au lieu de -4 dans votre post précédent (dernière ligne)

Posté par
hekla
re : Problème 01-08-20 à 12:54

La résolution de  \ln>3 donne bien x>\text{e}^3

On aura bien  p(\ln \text{e}^3)=-4

Posté par
Samsco
re : Problème 01-08-20 à 13:14

Ok je vois

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