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problème à propos des tétraèdres (géométrie dans l espace)
Bonjour!
J'ai cet exercice à faire pour la rentrée mais je suis bloquée à la première question, pourriez vous m'aidez s'il vous plaît?
Le voici :
(tout est en vecteur dans cet exercice mais je ne sais pas comment on fait pour mettre les flèches au dessus des lettres)
On appelle point de Monge d'un tétraèdre ABCD le point M0 défini par OM0= 2OG où :
- O est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre
- G est le centre de gravité du tétraèdre, défini par GA+GB+GC+GD=0 (vecteur nul)
1. Montrer que : M0A+M0B+M0C+M0D = 2M0O (je rappelle que tout est exprimé en vecteurs)
En déduire la valeur du produit scalaire 2M0I.CD où I est le milieu de [AB]
2. Conclure du résultat précédent que M0 appartient à chacun des six plans passant par le milieu d'une arête du tétraèdre et orthogonal à l'arête opposée.
Il y a une deuxième partie à cet exercice mais je ne la mets pas tout de suite je ne me suis pas encore beaucoup penchée dessus. Je la rajouterais peut-être
dans ce topic si je n'y arrive pas .
J'ai fais une partie de la question 1. :
tout est en vecteur
GA+GB+GC+GD=0
G barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) (D,1)
On a donc : OA+OB+OC+OD = 4OG
OM0+M0A+OM0+M0B+OM0+M0C+OM0+M0D = 4OG
M0A+M0B+M0C+M0D+4OM0 = 4OG
M0A+M0B+M0C+M0D = 4OG-4OM0
= 2OM0-4OM0 (car OM0=2OG donc OG=OM0/2 si on multiplie par 4 : 4OG=2OM0 )
= -2OM0 = 2M0O
et après je n'arrive pas à en déduire la suite, pouvez-vous m'aider? au moins m'indiquer quelques pistes?
merci d'avance
voici la suite de l'exercice :
Chacune des droites passant par un sommet du tétraède et orthogonal au plan de la face opposée est appelée hauteur du tétraèdre.
Or les hauteurs d'un tétraèdre ne sont pas toujours concourantes (voir question 1 ci dessous). On appellera donc tétraèdre orthocentrique un tétraèdre dont les hauteurs sont concourantes en un point que l'on appelera son orthocentre.
1. Choisir quatre des huit sommets d'un cube de façon à obtenir un tétraèdre non orthocentrique. Faire une figure claire et justifier les affirmations.
2. Une caractérisation des tétraèdres orthocentriques.
(a) Soit ABCD un tétraèdre orthocentrique d'orthocentre H. Montrer que :
AB.AC = AC.BD = AD.BC = 0 (en vecteur)
on pourra utiliser AB.CD = (AH+HB).CD (en vecteur)
(b) Réciproquement, soit ABCD un tétraèdre dont les arêtes opposées sont orthogonales :
(AB)perpendiculaire à(CD), (AC)perpendiculaire à(BD) et (AD)perpendiculaire à(BC)
Montrer que le point de Monge du tétraèdre appartient à chacune des hauteurs. En déduire que le tétraèdre ABCD est orthocentrique d'orthocentre H tel que :
OH = 2OG (en vecteur)
pouvez-vous m'aider? me donner des pistes?
j'ai réussi à résoudre la première partie de l'exercice, je ne la mets pas entièrement car elle ne sert pas pour la deuxième partie je pense.
j'ai trouvé que M0I et CD (en vecteur) sont orthogonaux
donc le plan (M0AB) est orthogonal à l'arête opposée CD
par analogie on peut tirer la même conclusion pour les autres arêtes.
Pouvez-vous m'aider pour la deuxième partie?
Déjà je ne comprends pas de quelles affirmations parle la question 1.
...le plan (M0AB) est orthogonal à l'arête opposée CD....C'est faux ..
Simplement comme c'est dit dans l'énoncé M0 appartient au plan orthogonal à CD passant par I...Ce qui n'est pas la même chose !!
merci bien j'aurais au moins fait cette question
bonjour! c'est encore moi!
dans la deuxième partie j'ai choisi dans le cube ABCDEFGH le tétraèdre ABCH, maintenant il faut donc que je justifie mon choix, comment faire pour le justifier? pouvez-vous m'aider?
pour la deuxième question (* j'ai fait une faute dans l'énoncé en fait c'est AB.CD = AC.BD = AD.BC = 0)j'ai réussi le (a) :
AB.CD = (AH+HB).CD = AH.CD + HB.CD =0 (car AH orthogonal au plan BCD et BH orthogonal au plan ACD par définition de H)
je n'arrive pas à faire le (b) pouvez-vous m'aider?
merci d'avance!
c'est bon j'ai réussi à faire la première question de cette deuxième partie mais je reste coincée sur la question (b)
n'y a-t-il vraiment personne qui puisse me donner un petit coup de main?
je ne vois vraiment pas comment montrer que le point de Monge du tétraèdre appartient à chacune des hauteurs.
Après je n'ai pas de mal à déduire que le tétraèdre ABCD est orthocentrique d'orthocentre H tel que :
OH = 2OG (en vecteur)
je suppose que la première partie sert à montrer que le point de monge appartient à chacune des hauteurs mais je n'arrive pas à partir.
pouvez-vous m'aidez s'il vous plaît?
ne t'inkiete pas je suis dans la même m.... que toi car je dois faire cet exercice en DM et j'y arrive pa du tout.Mais pour toi je pourais peux être t'aider car je vais avoir la correction la semaine prochaine.Donc a la semaine prochaine!!!!!
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