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problème avec l approximation de e
bonjour,
J'ai réussi à faire les deux premières questions de cet exos mais le reste j'avoue ne pas réussir à trouver grand chose si quelqu'un voudrai bien m'aider merci
Pour tout entier n , on note la fonction définie sur I = [0 ; +
[ par
et pour tout réel a non nul fixé, dans I,
.
1) Calculer I_0(a)
Ca c'est fait je trouve
2) Démontrer que pour tout réel x dans I et tout entier naturel n non nul , et
Ca c'est fait aussi
Déduisez en que
Ca aussi mais c'est après que ça coince
3) Prouver que pour tout n>0,
4) Dans cette question, on pose a=1. est la suite définie sur N par
.
On note C la courbe représentative de dans un repère orthonormal.
a) prouvez que pour tout entier naturel n, >ou = à 0 et donnez une interprétation géométrique de
.
b) Prouvez que pour tout entier naturel n,et pour tout réel x dans [0;1],.
c) Déduisez en que pour tout entier naturel n
0 < ou =, puis la limite de la suite un
d) Prouvez que
Merci beaucoup de m'aider
...
En additionnant membre à membre, les termes se simplifient deux par deux et on obtient :
3)
et tu devrais obtenir le résultat souhaité sans trop de difficulté...
4)a) correspond à l'intégrale d'une fonction positive donc est positif ou nul.
Pour l'interprétation graphique, il faut penser aux aires.
Essaie de faire la suite maintenant...
est ce que quelqu'un peut m'aider je comprends pas merci
salut
pour la 3 la methode de Victor est une bonne solution mais il y a aussi le raisonnement par recurrence si tu veux.
j'ai beau réessaué mais je comprends pas avec le résultat de ça ne fonctionne pas le reste j'ai compris mais ça non est ce que quelqu'un peut m'expliquer s'il vous plait
C'est un sacré barbare le prof qui donne ca en exo d'une part, et d'une autre part, je n'ai pas vraiment bien regardé le problème mais ca me semble pas tellement rigoureux ...
pour la 3 .
on veut montrer que n >= 0 I(n)(a) = 1-somme(0 a n) (a^k/k!) * e^(-a)
soit P(n) la propriete ;
I(n)(a) = 1-somme(0 a n) (a^k/k!) * e^(-a)
pour n=0 c'est vrai. (d'apres 1)
soit n >= 0 tel que P(n) vraie. (hypothese de recurrence)
on regarde P(n+1)
I(n+1)(a)=I(n)(a)-a^(n+1)/(n+1)! * e^(-a) (d'apres 2)
I(n+1)(a)= 1-somme(0 a n+1) (a^k/k!) * e^(-a)
donc P(n+1) vraie.
donc pour tout n >= 0 P(n) vraie.
pour le reste il y a des petits probleme de latex.
que n'arrives tu pas a faire dans les suivantes ?
en fait je comprends pas pourquoi le I_n(a) devient 1
desole mais je ne comprends pas "I_n(a) devient 1" ?
pour quelle question ? pour une de mes reponses ? que signifie "I_n(a) devient 1" ?
non désolée c'est moi qui m'embrouille mais il ne faut pas revoir par hasard la partie initialisation car c'est pour n>0
ah ok j'ai cru qu'en ecrivant n > 0 tu voulais ecrire n >= 0.
alors la oui il faut l'initialisation correcte donc voir le cas n=1.
mais bizzarre que l'exo demande pour n > 0 alors que pour n = 0 ca marche...
c'est peut etre l'histoire du 1/0!.
par convention 0!=1 mais c' est juste une convention...
cela vient de la formule pour n >= 1
I(n)(a)-I(n-1)(a) = -a^n/n!*exp(-a)
pour n=1 on a :
I(1)(a) = I(0)(a) -a*exp(-a) = 1 - exp(-a) - a*exp(-a)
enf ait je comprends pas comment tu passe de à 1-somme... je vois pas d'où sort ce 1
non non je 'ai pas utilise la formule avec le signe somme.
dans la question 2 tu avaos la formule :
pour n >= 1
I(n)(a)-I(n-1)(a) = -a^n/n!*exp(-a)
on l'applique pour n=1.
I(1)(a) = I(0)(a) -a*exp(-a) = 1 - exp(-a) - a*exp(-a)
voila a quoi est egal I(1)(a).
que "donne le signe somme" avec la valeur n=1 ?
on a 1-a^0/0! * exp(-a) - a^1/1!*exp(-a) = 1-exp(-a) -a*exp(-a)
c'est bien I(1)(a). donc l'egalite a demontrer est vraie au rang n=1.
oui oui sa j'ai compris mais dans la parie hérédité je comprends comment tu passes de à 1- somme
je reprends mon message donnant la demon :
pour la 3 .
on veut montrer que n >= 1 I(n)(a) = 1-somme(0 a n) (a^k/k!) * e^(-a)
soit P(n) la propriete ;
I(n)(a) = 1-somme(0 a n) (a^k/k!) * e^(-a)
pour n=1 c'est vrai. (voir message precedent)
soit n >= 1 tel que P(n) vraie. (hypothese de recurrence)
on regarde P(n+1)
I(n+1)(a)=I(n)(a)-a^(n+1)/(n+1)! * e^(-a) (d'apres 2)
or d'apres l'hypothese de recurrence :
I(n)(a) = 1-somme(0 a n) (a^k/k!) * e^(-a)
donc
I(n+1)(a)= [1-somme(0 a n) (a^k/k!) * e^(-a)] -a^(n+1)/(n+1)! * e^(-a)
donc I(n+1)=1-somme(0 a n+1) (a^k/k!) * e^(-a)]
donc P(n+1) vraie.
donc pour tout n >= 1 P(n) vraie.
le but essentiel dans le raisonnement par recurrence est d'UTILISER l'hypothese de recurrence (y'en a qui font des raisonnements par recurrence sans l'utiliser, leur raisonnement est donc faux)
oui ben c un peu mon cas dc sa me pose des petits pbs sinon j'ai aussi du mal pour la 4) c) tu peux essayer de m'aider stp et merci de ta patience
la 4c decoule de la 4b).
4b c'est f(n)(x) =< (1/n!)*x^n , n >= 0 x dans [0,1]
il faut "passer" aux integrales :
donc integrale(0 a 1) f(n)(x).dx =< (1/n!)*integrale x^n.dx
or (1/n!)*integrale x^n.dx = 1/(n+1)!
donc u(n) = integrale(0 a 1) f(n)(x).dx =< 1/(n+1)!
pour montrer que u(n) >= 0 c'est que f(n)(x) >= 0 pour x dans [0,1]...
la fin :
on en deduit par le thoereme des gendarmes que la suite u tend vers 0.
or u(n) = 1 -somme(k=0 a n) (1/k!)*e^(-1)
donc somme(k=0 a +oo) (1/k!)*e^(-1)=1
donc somme(k=0 a +oo) (1/k!)= e
je te laisse justifier ces 2 dernieres lignes.
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