slt lyonnais


x est apparement a valeurs dans

mais t

Salut!!

Peux tu écrire ta fonction avec des parenthèses, de fçon que je puisse distinguer si c'est : e^(-xt) ou e^(-x^t)
:?

salut à vous deux

>> H_aldnoer :

t c'est soit 1 soit 0 puisqu'en faisant l'intégration il disparait ...

>> Titi de la TS3 :

c'est e^(-xt) ...

merci pour vos aides !

lyonnais

je doute que ton 1 soit bon montre moi ton raisonnement que je puisse comparer au mien. Merci

ok, je le marque tout de suite ...

merci de ta patience !

Salut,
il ne me semble pas que ce soit au programme de terminale ce genre de trucs, ou alors ca ne doit pas chercher trop loin dans la théorie, que connais tu sur ce genre de fonctions? (définies par des intégrales)

Pour ce qui est de la dérivée en 0, il suffit de revenir à la définition:

f'(0)=lim [f(h)-f(0)]/h lorsque h->0
Si jamais tu montres que ta fonction est C1 tu peux peut être t'en sortir plus facilement en dérivant sous le signe somme et en faisant une petite IPP mais je ne suis pas sur que ca simplifie grand chose

Pour ton inégalité elle est forcément fausse puisque le membre de gauche est positif et celui de droite négatif, enfin si je ne me suis pas trompé, mais voici l'idée:

t parcourt (0,1) donc t vérifie 0<t<1, donc comment peux tu encadrer
exp(-xt)/racine(1+t²)?

Si tu veux montrer la décroissance, tu as deux possibilités simples:

-Tu dérives (il faut avoir le droit de le faire et c'est pas trivial, et je serai étonné qu'en terminale ca se fasse) et c'est vraiment trivial de voir que ca marche (intégrale d'une fonction négative)

-Tu prends 2 réels a,b vérifiant:
a<b et tu compares f(a) et f(b).

Avec un peu de travail, tu peux même déterminer f, et je pense que ca doit venir dans la fin de l'exo non?

Est ce vraiment un problème de terminale?
Je suis surpris que cet énoncé soit donné sans aucune indication en terminale...

on a donc :

.

Ah oui, je comprend pourquoi tu n'arrivais pas à trouvé une primitive. C'est parcequ'il nous la font calculer avant.

on a donc :  

Voila. merci pour ton aide !

Lyonnais, peux tu poster ton énoncé au complet s'il te plait.
(Dans quel établissement es tu? Je me demande si ce n'est pas du hors programme ceci, sauf si tu es très très encadré...)

merci otto de ta réponse

Bonne remarque pour l'inéquation, je viens de m'appercevoir que j'ai fait une faute de frappe, c'est :



merci pour toutes vos aides !

Notamment la fonction que tu évalues en 0 et 1 (celle dont la dérivée est 1/racine(1+t²)) est de l'arg sinus hyperbolique (à constante près), soit la réciproque du sin hyperbolique.
Assez étrange de voir ca ...

la 4 est manifestement fausse prenons : x = 1

exp(-xt)/racine(1+t²) >= 0 pour tout t de [0,1]
donc f(x) >= 0 pour tout x

et on demande de demontrer : f(x) + (1+exp(-x))/x <= 0

on ajoute 2 nombres positifs et ca donne un truc negatif original

>> otto :

j'ai posté mon énoncé au complet ( enfin pratiquement )

Juste avant , ils nous demandaient juste de calculer la dérivée de la fonction  

Et j'ai trouvé , c'est pourquoi je m'en suis servit pour calculer l'intégrale ...

mais, cet exo est totalement hors programme, c'est mon prof qui nous la donné pour voir si l'on arrivait à résoudre des problèmes qui sortaient de l'ordinaire ...

lyonnais

oui mais otto dit vrai une primitive de 1/racine(1+t²) c argsh(t) qui est dailleur egale a ton H(t) ! en effet ca paraissé louche pour un exo de terminale !!!

Bizarre de voir que f(t)= ln(t+(1+t²))
marche, car f'(t) pour moi
c'est = à :
f'(t)=((t²+1)+t)/(t²+1) 1/((t²+1))

Sauf erreur bien entendu.

si Titi de la TS3 , ça marche



voila, sauf erreur ...

Salut, l'idée de ton prof est bonne, bien que mauvaise à la fois.
En effet, si tu veux dériver ta fonction, intuitivement tu dérives sous le signe "intégrale". Ca marche dans ce cas, mais pas toujours, et la théorie se voit en bac+2 bac+3 en général et les raisons sont simples, il y'a des problèmes de convergence.

Lorsque tu calcules une intégrale, tu fais appelles en fait à des limites.
Lorsque tu as une telle fonction, tu as en fait une fonction de 2variables, une qui est t, l'autre qui est x.
Si tu calcules l'intégrale par rapport à t, tu effectues une certaine limite en t, et ensuite tu évalues en x
Si tu dérives par rapport à x, tu effectues une limite par rapport à t(l'intégration) et ensuite par rapport à x lorsque tu dérives f.
Si maintenant tu veux calculer l'intégrale de la dérivée, tu effectues d'abord ta limite suivant x et ensuite suivant t.
Pourquoi les 2 seraient égales?
A priori il n'y a aucune raison, et d'ailleurs dans le cas général c'est faux.
Ici tu as des fonctions suffisament "propres" pour que ca marche, et tu as bien
f'(x)=intégrale de -texp(-xt)dt/sqrt(1+t²)
Notamment cette fonction est négative (intégrale d'une fonction <0)
De plus, elle est continue partout, donc
f'(0)=intégrale de -tdt/sqrt(1+t²)
que tu peux intégrer par partie avec ce que tu as déjà.

A ba non cé bon je retire ce que jé dit désolé...

ok, merci otto

Mais comment fais tu pour savoir que :



??

...

Salut, comme je te l'ai dit, sous certaines conditions on peut dériver et la dérivée de f est l'intégrale de la dérivée partielle par rapport à x.

Notamment ici j'ai
f(x)=intégrale de g(x,t)dt
Sous les conditions de régularité que je ne veux pas énoncer, j'ai bien f'(x)=intégrale de dg(x,t)/dx
Notamment ici g(x,t)=exp(-xt)/sqrt(1+t²)
Et la dérivée partielle de g par rapport à x, s'obtient en dérivant g comme une fonction où t représente une constante.
Ca donne bien le résultat voulu.

Je ne pense pas que ce soit une bonne idée d'utiliser ceci ic, car comme je te le dis, ca fait appelle à des connaissances que tu n'as pas et qui ne tombent pas du ciel.
Donc essaie de t'en sortir avec la définition du nombre dérivé de f en 0.
Bonne chance,
a+

pas besoin de dériver tu reviens à la définition d'une fonction décroissante

x=<y   =>  f(x)>=f(y)

ok, je vais essayer ...

sinon, personne n'a une idée pour réussir à retrouver l'encadrement ?

merci à tous !

h(x) < f(x) < g(x)

tu étudies les fonctions f(x) - g(x) et f(x) - h(x) pke en raisonnant sur 0<t<1 je pense pas que tu puisses arriver a quelque chose de ce genre

oaui, ba là je crois que je vais pas y arriver lol

il n'y a pas d'autres façons ?

_{désolé si je suis lourd ...}

...

Pour la décroissance, fait comme jiju33 et moi te disons, revient à la définition.
Pour l'encadrement utilise mon indication , tu vas trouver facilement comment encadrer g(x,t), et ensuite tu intègres par rapport à t pour te retrouver avec le résultat voulu.
Bonne chance,
a+

Indication supplémentaire:

si 0<t<1 alors

1/racine(2)<1/sqrt(1+t²)<1
Donc
exp(-xt)/sqrt(2)<g(x,t)<exp(-tx) car exp(-xt)>0 pour tout x et pour tout t.
Sauf erreur(s).

Je te laisse conclure.
bonne chance,
a+

merci otto :

je ne comprends pas trop ton indication ... Est-ce que ça te dérangerais de me donner le début du dévellopement s'il te plait ?

merci d'avance !

Au fait, ce que j'appelle g(x,t) c'est la quantité "sous l'intégrale":
g(x,t)=exp(-xt)/racine(1+t²)

Lyonnais: posts croisés, relis moi je t'ai répondu avant ta question

merci, donc si j'ai bien compris, après j'intégrè le tout et ça devarit marcher c'est ça ?

Essaie et tu verras.
En fin de compte, puisqu'on ne se sert pas de trucs hors programme, je trouve que cet exercice est une bonne idée.
A+

ok merci, j'y cours tout de suite !

merci, merci, merci , je crois que j'ai compris la méthode

lyonnais

c'est bon, ça marche : merci encore !

juste une dernière question : comment faire pour trouver f'(0) en utilisant le nombre dérivée ?

    ?

merci de me répondre ...

tout a fait c'est pour ca que l'on te fait calculer f(0) !

oui, mais y a le f(h) qui me gène ...

Peux tu m'aider stp jiju33

merci d'avance !

bon allé pke c toi hein lol !!!

f(h) - f(0) / h = (exp(-ht)-1)/h(1+t²)

a la louche on fait lim integrale = integrale de la limite (c'est totalement faux mais faut se donner une idée du f'(0) pour le démontrer)

exp(-ht) - 1 ~ -ht et (exp(-ht)-1)/h(1+t²) ~ -t(racine(1+t²)

-t/(1+t²) = - (1+t²)

voila a toi de jouer il faut montrer que f'(0) = [-(1+t²)] entre 0 et 1 soit 1-2

merci jiju33 :

c'est exactement ça le résultat qu'il faut trouver. je l'avais déjà déterminé grâce à la méthode d'otto qui m'était totalement inconnue ...

donc si je comprend bien, ton raisonnement n'est pas correct c'est ça ?

non car le symbole integrae né pa une fonction continue on pa le droit de faire lim (integrale) = integrale(limite) cependant comme l'explique otto sur des fonctions bien ajustées comme celle ci ca marche donc mon raisonnement est incorrecte il fo se faire une idée de la limite et ensuite le montrer en revenant a la définition cad en montrant que

|f'(0) - (1-sqrt(2))| <= un truc qui tend vers 0

euh (f(h) - f(0))/h - (1-2) ---> 0

donc le majorée par un truc qui tend vers 0

et ba, ça m'a l'air bien compliqué tout ça ... lol

au fait merci pour le " pke c toi " !

je crois que j'y arriverais pas. je suis dessus depuis le début de cette après midi et j'arrive toujours pas à avoir un raisonnement correct ...

pourtant, je veux trouver !

Attention quand même à ce que tu dis lorsque tu parles de continuité de l'intégrale, ca n'a pas vraiment de sens

oui enfin facon de parler c une sorte de continuité !!!

L'application qui à f associe son intégrale sur un ensemble X est continue en certains points et pour une certaine topologie T. Ces points sont en fait des fonctions.


Ici, toi tu parles de continuité de f en certains points x qui sont des réels. En fait ici c'est vraiment un problème d'intervertion de limites qui intervient...

Exemple:
f(x,t)=1 si x>t, 0 sinon.
Calculer:
lim(lim(f(x,t)) t->oo) x->oo
lim(lim(f(x,t)) x->oo) t->oo

Ici c'est le même problème qui se pose...

Je vais te donner une méthode que tu devrais pouvoir utiliser à ton niveau:

Une fonction p est dérivable en 0 si et seulement si elle est différentiable en 0.
Ie, si et seulement si:
p(h)=p(0)+hp'(h)+r_p(h) avec r_p(h)/h qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0.(j'écris r_p pour montrer que le reste dépend de la fonction p que l'on étudie)

Notamment ici, si on a
p(x)=g(x,t)=exp(-xt)/sqrt(1+t²)= où t est un réel compris entre 0 et 1.
Donc le dénominateur est en fait une simple constante)
On sait que exp(-xt)=1-xt+r_exp(xt) avec r_exp(xt)/xt->0 lorsque xt->0

Notamment
g(x,t)=[1-xt+r_exp(xt)]/sqrt(1+t²)

j'intègre sur [0,1] par rapport à t et je trouve

f(h)=int(dt/sqrt(1+t²)) - h*int(tdt/sqrt(1+t²)) + int(r_exp(ht)/sqrt(1+t²))
(toutes les intégrales étant sur [0,1])

Si tu arrives à montrer que
int(r_exp(ht)/sqrt(1+t²))/h tend vers 0 lorsque h tend vers 0, alors c'est gagné car on aura bien que

f(h)=f(0)+hf'(h)+r_f(h)/h qui tend vers 0.

Ici il faut donc montrer ceci, notamment puisque 0<t<1,
on a que
1/sqrt(2) < 1/sqrt(1+t²) < 1
comme on a déjà vu.

Donc si je pose
r_f(h)=int(r_exp(ht)/sqrt(1+t²))
on a
int(r_exp(ht))/sqrt(2) < r_f(h) < int(r_exp(ht))
et avec quelques conidérations sur le reste on peut s'en sortir, malheuseusement je n'ai plus le temps de continuer.
Je reviendrai finir si j'ai du temps, dans la soirée.
Bonne chance,
a+

Ce que je dis est vrai, mais en fait il est préférable de trouver une inégalité à partir du fait que r(h)/h tende vers 0, notamment r(h)/h est bornée...
Donc il existe (m,M) tel que
m<r(h)/h<M et finalement
mh<r(h)<Mh
On intègre tout et on divise par h et on a le résultat souhaité.
Ouf!
C'est fini
a+

Bon j'ai plus le temps, je le refais plus proprement sur la fin:

On a montré cette inégalité:
r_exp(ht)/2 < r_f(h) < r_exp(ht)

Nous ce qu'on veut montrer, c'est que r_f(h)/h tend vers 0 lorsque h tend vers 0, et ainsi puisque
f(h)=f(0)+hf'(h)+r_f(h) avec r_f(h)/h qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0, non seulement on aura bien montré que f est dérivable (car ceci est une définition équivalente de la dérivée) mais on aura aussi l'expression de la dérivée, c'est en fait le nombre qui se trouve devant h.

Si par exemple on a que
f(h)=3+4h+r(h) avec r(h)/h qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0, alors f'(0)=4, ca se lit sur l'équation.

Donc notre objectif:
Montrer que r_f(h)/h tend vers 0.
C'est clair que vue l'inégalité que l'on a , on va montrer que c'est l'intégrale/h qui tend vers 0.

Puisque exp est dérivable, on a que le reste r_exp(u)/u tend vers 0 lorsque u tend vers 0.
Si je pose u=ht on trouve r_exp(ht)/ht tend vers 0 lorsque ht tend vers 0.
Puisque cete quantité tend vers 0, elle est bornée, à partir d'un certain temps (il suffit de revenir à la définition de la convergence).
Donc il existe (m,M) tel que
mr_exp(ht)/htM
On multiplie toutes les quantités par t sans changer les inégalité (puisque 0<t<1)
Et on trouve ainsi:
mtr_exp(ht)/hMt
On passe l'inégalité aux intégrales et on trouve
mtr_exp(ht)/hMt sur [0,1]
Notamment les deux intégrales à droite et à gauche se calculent très bien et on trouve:
mt²/2r_exp(ht)/hMt²/2

On divise tout par t, et on trouve
mt/21/tr_exp(ht)/hMt/2
C'est à dire
mt/21/htr_exp(ht)Mt/2

Lorsque ht tend vers 0, on voit bien, en raison du théorème des gendarmes, que [r_exp(ht)]/ht tend vers 0.

En revenant à la première inégalité on a le résultat souhaité, et r_f(h)/h tend bien vers 0 en 0.

Puisque l'on a
f(h)=dt/(1+t²) + h-tdt/(1+t²) + r_f(h)
avec r_f(h)/h qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0, alors on a que f est dérivable en 0, et f'(0)=le coefficient devant h=-tdt/(1+t²)=1-2

J'espère que c'était clair.
A+

merci beaucoup otto !!

j'ai tout compris :

@+
lyonnais

Cool, c'était pas évident pourtant.
C'est du programme de maths spé ou L2
Si tu as une fonction g qui est dérivable à dérivée partielle par rapport à x continue sur un ensemble X par rapport à t (ici X=[0,1], tu fais le meme raisonnement, tu changes juste les inégalités, le racine de 2 devient un minorant que tu ne connais pas, et le 1 est un majorant que tu ne connais pas, l'important est que la fonction soit minorée et majorée (ie bornée), mais par quoi n'as pas d'importance.)