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problème d'algèbre

Posté par
j123456
28-03-21 à 13:40

Bonjour à tous, je bloque sur 5 questions d'un problème d'algèbre. Voici l'énoncé :

On appelle M l'ensemble des matrices M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix}a,b,c\in\mathbb{C} .
On appelle s_0 : M \rightarrow \mathbb{C} définie par s_0(M(a,b,c))=a+b+c.On note F_0=Ker s_0.
Je vous mets ma première question :

On a montré que F_0 est de dimension 2 puisque s_0 est une forme linéaire sur M et donc F_0 est un hyperplan de M.

Montrer que \forall M(a,b,c)\in M, \forall A\in F_0, AM\in F_0.
En fait, c'est la matrice de A qui me pose problème : je ne sais pas quelle forme elle doit prendre.On sait que a+b+c=0 mais aussi que s_0 est la trace de M(a,b,c) mais je ne sais pas faire le lien avec tout ça..

Merci si vous prenez du temps pour répondre !

Posté par
carpediem
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 13:44

salut

si s(A) = 0 alors a + b + c = 0

donc tu peux exprimer l'un des coefficients en fonction des deux autres puis donner la matrice A et enfin calculer AM ...

Posté par
carpediem
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 13:45

sinon tu prends A =

x  y  z
z  x  y
y  z  x

sachant que x + y + z = 0 ...

Posté par
j123456
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 17:24

Bonjour,
Ok j'ai réussi cette question elle n'était pas très compliquée en fait..

Un sous espace vectoriel H de M est dit absorbant si \forall A \in H, \forall M(a,b,c)\in M, AM\in H.
On note s_1 : M \rightarrow C définie par s_1(M(a,b,c))=a+bj+cj^2,
s_2 : M \rightarrow C définie par s_2(M(a,b,c))=a+bj^2+cj, F_1=Ker s_1 et F_2=Ker s_2 avec j une racine cubique de 1 non réelle.

On a montré que det(M(a,b,c))=(a+b+c)(a+bj+cj^2)(a+bj^2+cj)

-Montrer que tout sous espace vectoriel H absorbant de M possédant un élément inversible pour la multiplication est égal à M (Montrer que la matrice identité appartient a H).
question réussie

-En déduire que tout sous espace vectoriel absorbant de M , différent de M est inclus dans F_0\cup F_1\cup F_2.
Je ne vois vraiment pas le lien avec la question précédente :
Est ce que F_0, F_1, F_2 sont les seuls sous espaces vectoriels absorbants ne possédant pas d'élément inversible pour la multiplication? Je ne vois pas trop.

Merci je votre aide (Je mettrai mes dernières questions si quelqu'un me répond )

Posté par
matheuxmatou
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 18:05

bonsoir

Citation :
mais aussi que s0 est la trace de M(a,b,c)


certainement pas

Posté par
matheuxmatou
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 18:07

pour la première question, on remarquera en ajoutant les colonnes d'une matrice de M que le déterminant se factorise par (a+b+c), ce qui donne immédiatement le résultat.

Posté par
Kolaas29
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 18:08

j123456 @ 28-03-2021 à 17:24

Bonjour,
-En déduire que tout sous espace vectoriel absorbant de M , différent de M est inclus dans F_0\cup F_1\cup F_2.
Je ne vois vraiment pas le lien avec la question précédente :
Est ce que F_0, F_1, F_2 sont les seuls sous espaces vectoriels absorbants ne possédant pas d'élément inversible pour la multiplication? Je ne vois pas trop.

Merci je votre aide (Je mettrai mes dernières questions si quelqu'un me répond )


En effet, la question précédente montre que tout sev absorbant H de M possédant un élément inversible pour la multiplication est égal à M.
Donc, par la contraposée , tout sev absorbant H de M qui est différent de M ne possède pas d'élément inversible pour la multiplication.
Et il faut donc montrer une inclusion d'ensembles. Soit x un élément de H...montrer que x est nécessairement dans l'un des trois F_i.

Posté par
j123456
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 18:38

Oui la trace de s_0 est 3a donc aucun rapport avec le problème ici..

Ok, soit M\in F.Tout sev absorbant H de M qui est différent de M ne possède pas d'élément inversible pour la multiplication donc M n'est pas inversible donc son déterminant est nul puis s_0(M)s_1(M)s_2(M)=0 et les inclusions recherchées.

Posté par
j123456
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 19:05

Je vous embête une dernière fois avec mes 3 dernière questions :

On souhaite montrer que tout espace vectoriel absorbant F de M différent de M vérifie F\subset F_0 ou F \subset F_1 ou F \subset F_2

-Soit \lambda\in\mathbb{C}.Soient A, B \in M. Montrer que det(A+\lambda B)=\prod_{k=0}^{2} (s_k(A)+\lambda s_k(B)). Si A et B sont éléments de F, que vaut  det(A+\lambda B)?En déduire l'existence d'un entier naturel k, 0\leq k \leq 2 tel que s_k(A)=s_k(B)=0.

Bon pour la première partie, par multi linéarité du déterminant,  det(A+\lambda B)=det(A)+\lambda det(B) or A et B sont éléments de M donc on connait leur déterminant mais en ayant fait les calculs je n'aboutis pas sans savoir où est mon erreur ..
Ensuite, det(A+\lambda B)=0 mais je ne sais pas comment le justifier. L'existence de k vient naturellement après.

On suppose  F\not\subset F_0 et F \not\subset F_1 et F \not\subset F_2.Il esxiste donc A_0, A_1, A_1 appartenant à F vérifiant s_k(A_k)\ne 0 pour k compris entre 0 et 2. Montrer que
s_0(A_1)=s_0(A_2)=0, s_2(A_0)=s_2(A_1)=0, s_1(A_0)=s_1(A_2)=0.

Calculer de 2 manières le déterminant de A_0+A_1+A_2, trouver une contradiction et conclure.

J'avoue ne pas avoir d'idée pour ces 2 dernières questions sauf pour la conclusion : par un raisonnement par l'absurde on aboutit au résultat recherché..

Merci si vous prenez du temps pour répondre!

Posté par
j123456
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 22:29

pas besoin de perdre votre temps :
j'ai finalement réussi ces questions..

Bonne soirée

Posté par
carpediem
re : problème d'algèbre 28-03-21 à 22:37

merci et à toi aussi



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