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problème d aritmétique

Posté par cici_015 (invité) 08-01-06 à 20:33

Bonjour je suis lboquée sur le début de cet exercice... pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
J4ai un nombre x[k] compris entre 0 et 10 ^n-1 [k entier naturel non nul] tel que
x[k]^3 congru à 77....7 [10^k] [il y a k 7]
On a x1 = 3.

1) On suppose connu xk. Montrer qu'il existe a(k) compris entre 0 et 9 entier tel que x(k+1) = 10^k a(k) + x(k) ...
Je ne sais pas trop comment le prouver...
par recurrence?
en faisant la division euclidienne j'ai
x(k+1) congru à y modulo 10^k+1
je peux trouver que y^3 congru à 77777 (k+1 fois) [10^k+1]
mais puis-je passser à des modulos 10^k? et ensuite rien ne me prouver alors que y = x(k) .. fin je suis bloqué quoi

2) Soit y(k) le chiffre des unités d'ordre k de x(k)^3. ainsi  x(k)^3 = .... y(k)7777....777[k fois]
Par les congruences montrer que a(k] congru à 1 + 7 y modulo 10
Là je suis larguée ...
je suppose qu'il faut dire que x(k+1)^3 = 10^3k a(k)^3 + 10^2k * a(k)² * x(k) + 10^k * a(k) * x(k)² + x(k)^3 ... mais après que faire... voilà c'est le début de l'exo et je suis déja bloquée pourriez vous me guider sur ce début d'exo svp merci d'avance .

Posté par cici_015 (invité)re : problème d aritmétique 09-01-06 à 00:05

svp juiste un peu d'aide

Posté par
disdrometreproblème d arithmétique 09-01-06 à 12:01

bonjour,
utilise le petit théorème de fermat et prouve que x^3 est inversible sur K=Z/(10^k)Z pour tout x non nul dans K*.
en déduit que x -> x^3 est bijective sur K  
remarque que x(k+1)^3 - x(k)^3 = 0 sur  K
et conclut la relation demandée.

D.

Posté par cici_015 (invité)re : problème d aritmétique 09-01-06 à 15:58

oulala mon dieu lol je ne connais pas le théoreme de fermat et tout je suis au début de l'arithmétique avec juste le théorème  de Bézout et les ptites congruences.....
SVP je trouve pas Kaiser si vous pouviez m'aider

Posté par
disdrometrere : problème d aritmétique 09-01-06 à 17:17

laisse tomber fermat, c'est faux mon histoire

Posté par cici_015 (invité)re : problème d aritmétique 09-01-06 à 19:07

lol d'accord... merci quand même

Posté par
franzre : problème d aritmétique 09-01-06 à 21:17

En connaissant x_k,
     3$\array{ccl$\(a_k.10^k+x_k\)^3 & = &\(a_k.10^k\)^3\;+\;3\(a_k.10^k\)^2x_k\;+\;3\(a_k.10^k\)x_k^2\;+\;x_k^3 \\ & = & a_k^3.10^{3k}\;+\;3a_k^2x_k.10^{2k}\;+\;3a_kx_k^2.10^{k}\;+\;x_k^3 \\ & = & 10^k\[a_k^3.10^{2k}\;+\;3a_k^2x_k.10^{k}\;+\;3a_kx_k^2\]\;+\;[b_k.10^k+\underbrace{777\cdots7}_{k\;fois}] \\ & = & 10^k\[a_k^3.10^{2k}\;+\;3a_k^2x_k.10^{k}\;+\;3a_kx_k^2+b_k\] +\underbrace{777\cdots7}_{k\;fois} }

Donc
     3$\array{ccl$ \frac{\(a_k.10^k+x_k\)^3-777\cdots7} {10^k}& \eq & 3a_kx_k^2 + b_k \;\;\;[10]}

Or x_k est premier avec 10 donc 3x_k^2 est premier avec 10 donc donc inversible dans {\mathbb Z} /10 \mathbb Z.
Il existe un c_k dans 1...9 tel que 3x_k^2\,.\,c_k\eq 1\;[10]  3x_k^2\,.\,c_k\eq 1\;[10]

Soit d_k le reste de 7-b_kpar 10.
3x_k^2\,.\,c_k.d_k\eq d_k\;[10]
3x_k^2\,.\,(c_k.d_k)\eq 7-b_k\;[10]
3x_k^2\,.\,(c_k.d_k)+b_k\eq 7\;[10]

En choisissant a_k\eq c_k.d_k [10] on a \red 3x_k^2.a_k + b_k\eq 7\;[10]

donc  3$\red 10^k\( 3x_k^2.a_k + b_k\)\eq 7.10^k\;[10^{k+1}]\eq \(a_k.10^k+x_k\)^3-\underbrace{777\cdots7}_{k\;fois}\;[10^{k+1}]

On a ainsi construit 3$\red x_{k+1}

Posté par cici_015 (invité)re : problème d aritmétique 09-01-06 à 21:39

c'est quoi inversible (dsl de mon ignorance quand je dis que je suis au début de l'arithmétique c'est bel et bien le cas

Posté par
franzre : problème d aritmétique 09-01-06 à 21:54

C'est ce que j'ai écrit à la ligne d'après.

Posté par cici_015 (invité)re : problème d aritmétique 09-01-06 à 21:58

ok votre démonstration a l'air super balaise lol mais vu que je m'entraine pour un futur devoir sur table... je peux pas me contenter d'un truc qu'on n'a pas vu il y a pas un truc simple avec petite récurrence lol ?

Posté par
franzre : problème d aritmétique 09-01-06 à 22:48

La démostration n'est pas si compliquée.

Il y a beaucoup de bla-bla mathématique pour prouver que lorque a_k décrit 1...9, on trouve tous les entiers comme chiffre des unités pour
10^k\[a_k^3.10^{2k}\;+\;3a_k^2x_k.10^{k}\;+\;3a_kx_k^2+b_k\]%20 et donc en paticulier, un a_k qui conduit à la valeur de 7 ce qui permet d'enclencher la récurrence.


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