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Problème d'ellipse

Posté par
manto235
28-08-08 à 22:14

Bonjour, voici l'énoncé d'un problème que je ne comprends pas... J'ai beau le lire et le relire, je ne sais pas faire de dessin. Pourriez-vous m'aider?

Un rayon lumineux issu du foyer F (-\sqrt{5},0) de E \equiv 4x2 + 9y2 - 36 = 0 forme avec OI un angle dont la tangente est -2.
Déterminez une équation cartésienne de la trajectoire d du rayon réfléchi.

Posté par
LeHibou
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 09:51

Bonjour,

Je suppose qu'on fait partir un rayon du foyer, et qu'il coupe l'ellipse E en I.
On considère alors l'angle (IF, IO), la tangente de l'angle (au sens "fonction tangente") doit être -2, ce qui permet de positionner le point I sur l'ellipse. Enfin  on considère la tangente à l'ellipse en I (au sens "droite tangente"), on assimile cette tangente à un miroir sur lequel le rayon issu de F se réfléchit vers l'intérieur de l'ellipse, et c'est l'équation de ce rayon réfléchi qu'on cherche.

Posté par
raymond Correcteur
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 10:59

Rebonjour.

Si mes souvenirs sont exacts, le rayon réfléchi passera toujours par l'autre foyer.

Posté par
LeHibou
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 11:27

C'est vrai, et c'est d'autant plus curieux que l'exercice impose cette condition "un angle dont la tangente est -2" alors que c'est vrai pour tous les rayons issus de F...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 11:39

C'est quoi I ?

a) Soit le point de l'ellipse où le rayon incident arrive sur l'ellipse

b) Soit le point de coordonnées (1 ; 0) comme souvent noté dans un système orthonormé.
---
Il va sans dire (mais cela va encore mieux en le disant) que suivant la réponse donnée à cette question, le problème est différent.




Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 11:52

Voila des dessins (approximatifs) correspondant aux 2 cas que j'ai mentionnés

Problème d\'ellipse

Lequel faut-il considérer ?

Posté par
manto235
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 14:47

Bonjour et merci pour votre aide!
Je n'avais pas prêté plus attention à ce fameux point I et aux questions qui s'en suivent...
Après réflexion, je pense que ce serait bien le point de coordonnées (1,0).

Dans le premier dessin que j'avais essayé de faire, I était un point quelconque de l'ellipse par où le faisceau passait et c'était à partir de ce point qu'il était réfléchi.
Mais avec tes explications, il me semble plus logique que I serait bien le point (0,1) faisant partie de l'axe des abscisse vu qu'on parle de l'axe OI.

Posté par
manto235
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 14:48

Oups, petite coquille..
Mais avec tes explications, il me semble plus logique que I serait bien le point (1,0) faisant partie de l'axe des abscisseS vu qu'on parle de l'axe OI.

Posté par
manto235
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 15:09

Oubliez ce que j'ai écrit avant...
Je suis désolé, j'aurais dû me remettre complètement dans le problème...

Je confirme que le point I est bien le point (1,0). Parfois, on appelle l'axe des abscisses OI.
Le point qui touche l'ellipse, je l'avais appelé P (et non I comme je l'ai dit avant).

"Si mes souvenirs sont exacts, le rayon réfléchi passera toujours par l'autre foyer." Je n'en ai aucune idée.
A mon avis, le fait que la tangente soit égale à -2 devrait permettre de trouver le coefficient directeur du faisceau non?
Le faisceau émis aurait donc pour équation : y = -2x + k

Encore désolé pour le multi-post

Problème d\'ellipse

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Problème d'ellipse 29-08-08 à 19:36

Rayon incident : y = -2x - 2V5

Les coordonnées de P se trouvent en résolvant le système :
4x²+9y²-36=0
y = -2x-2V5

Il y a 2 solutions, celle qui correspond à mon dessin de ma réponse précédente et celui de ton dessin.

Je retiens celle de ton dessin, on trouve : P(-0,6.V5 ; -0,8.V5)

Ellipse inférieure:
y = -(1/3)*V(36-4x²)

f(x) = -(1/3)*V(36-4x²)
f '(x) = (4/3).x/(V(36-4x²))

f '(-0,6V5) = -1/3
C'est la pente de la tangente à l'ellipse en P

La pente de la normale à l'ellipse en P est donc = 3

En appelant Q le point de rencontre de cette normale à l'ellipse en P et de l'axe OI, on a donc:

tg(OFP) = 2
tg(FQP) = 3

angle(FPQ) = Pi - angle(OFP) - angle(FQP) (la somme des angles du triangle FPQ égale Pi).

angle(FPQ) = Pi - arctg(2) - arctg(3)
angle(FPQ) = Pi/4

Et angle entre le rayon incident et le rayon réfléchi = 2 * angle(FPQ) = Pi/2 (soit un angle droit)

Angle entre axe OI et rayon réfléchi = Pi/2 - arctg(2)

tg(Angle entre axe OI et rayon réfléchi) = tg(Pi/2 - arctg(2)) = 1/2

Donc la pente du rayon réfléchi est 1/2

Le rayon réfléchi passe par P et donc son équation est :
y = (1/2)x - 0,5.V5

En y = 0, on a x = V5, ce rayon passe donc par le second foyer de l'ellipse.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
raymond Correcteur
re : Problème d'ellipse 30-08-08 à 02:45

Merci J-P d'avoir confirmé par le calcul la propriété que je donnais plus haut.

Une application classique :

A Paris, les couloirs du métro ont une section transversale sensiblement elliptique. Si sur l'un des quais une personne parle (même doucement) en étant située approximativement à un foyer, toute personne située sur l'autre quai, également au voisinage de l'autre foyer, entendra la conversation.

Posté par
LeHibou
re : Problème d'ellipse 01-09-08 à 16:49

Exact, dans le temps il y avait des poinçonneurs de ticket situés aux accès aux quais et ils discutaient entre eux toute la journée d'un quai à l'autre.

C'est l'poinçonneur des Lilas,
pour Invalides changez à Opéra...



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