Niveau maths spé

probleme d'intégrale double

Posté par
mikeh 28-03-13 à 17:16

bonjour a tous
voilà je suis en prépa MP et comme les concours approchent grand pas, je m'entraine en faisant pas mal d'exos.
mon pb aujourd'hui c'est que j'ai un exo ou j'ai une belle intégrale double à calculer mais je n'y parviens pas (j'ai tenté normalement puis en faisant un changement de variable polaire mais je ne m'en sors pas...)
voici la bête:
[e^{A(x-m)2 + (y-n)2}]dxdy
avec {x,y / x²+y₂=< B}
avec A, B, m, n constantes.

en polaire:

[e^-Ar[sup]2^{.2rA(mcos+nsin)}]|r|drd
avec r[0, Z]
[0,2] mais je me demande s'il est possible de faire ca avec /2 ou /4
Z etant une concstante

merci de bien vouloir m'aider s'il vous plait.

Posté par re : probleme d'intégrale double 28-03-13 à 17:47

dur dur de lire...
1) C'est $e^{A\pi[(x-m)^2+(y-n)^2]}$ ou bien $e^{A\pi (x-m)^2+(y-n)^2}$
2) La deuxième intégrale est carrément incompréhensible
3) qu'entend tu par faire ça avec $\pi/2$ ou $\pi/4$

Posté par re : probleme d'intégrale double 29-03-13 à 11:39

Bonjour,

il manque beaucoup de parenthèses
et tu devrais préciser si A à ou à

Posté par re : probleme d'intégrale double 31-03-13 à 15:31

Bonjour
désolé mais je ne maitrise pas super bien le système de balises de ce forum --'
alors green, 1) c'est la première option
2) ce qu'il y a en exposant: -A(-r²+2r(mcos+nsin))
3) il s'agit des bornes mais je crois que sur [0,2] il n'y a pas de problème.

et Barney, A

merci d'avoir répondu et désolé de la mauvaise présentation...

Posté par re : probleme d'intégrale double 06-04-13 à 18:36

Bonjour

je ne crois pas qu'on puisse calculer l'intégrale ou du moins en menant les calculs tels que je l'ai fait, ils font apparaitre une primitive de $e^{-x^2}$ . La primitive de $\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$ s'annulant en 0 définit la fonction spéciale dite d'erreur $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$ .

En posant $\beta=mcos\theta + n sin \theta, qui est indépendant de r$ , on aura:

$\int_0^R e^{-A\pi(r^2-2r(mcos\theta + n sin \theta))}rdr=e^{A\pi}\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}rdr=-\frac{1}{2}e^{A\pi}\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}(-2r)dr$ .

$\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}(-2r)dr=\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}(-2r+2\beta-2\beta)dr[=\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}(-2r+2\beta)dr+2\beta\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}dr$

     $=(e^{-(r^2-2r\beta)})|_0^R-\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}(-2\beta)dr=e^{-(R^2-2R\beta)}-1+2\beta\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}(-2\beta)dr=e^{-(R^2-2R\beta)}-1+2\beta \int_0^R e^{-(r^2-2r\beta)}dr$

     $=e^{-(R^2-2R\beta)}-1+2\beta \int_0^R e^{-(r^2-r\beta+\beta^2+\beta^2)}dr=e^{-(R^2-2R\beta}-1+2\beta e^{-\beta^2}\int_0^R e^{-(r^2-2r\beta+\beta^2)}dr$

     $=e^{-(R^2-2R\beta)}-1+2\beta e^{-\beta^2}\int_0^R e^{-(r-\beta)^2)}dr =e^{-(R^2-2R\beta)}-1+2\beta e^{-\beta^2}\int_{-\beta}^{R-\beta} e^{-u^2}du$

     $=e^{-(R^2-2R\beta)}-1+2\beta e^{-\beta^2}\int_0^R e^{-(r-\beta)^2)}dr =e^{-(R^2-2R\beta)}-1+2\beta e^{-\beta^2}\blue\frac{\sqrt{\pi}}{2}(erf(R-\beta)-erf(-\beta)})}$

où dans l'avant-dernière ligne on a fait le changement de variable $u=r-\beta$ .

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