Bonjour,

Soit f la fonction définie par : f(x)=x(2-x)
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j). Soit u l'unité
d'aire. C est la courbe représentative de f. A est le point
de C d'abscisse k ( k positif ).

1)a) La droite (OA) passe par les points de coordonnées (0;0) et (k;k(2-k)).

Son équation est de la forme y=mx avec m=k(2-k)/k=2-k .
Donc y=(2-k)x.
b) Sur l'intervalle [O;k]
f(x)-(2-k)x=(2-x-2+k)x=(k-x)x or sur [0;k], (k-x) > 0.
soit f(x) > (2-k)x donc C est au dessus de la droite (OA) donc au dessus
du segment [OA].

2) L'aire A(k) de la région limitée par la courbe et le segment
[OA] est donc égale à l'intégrale entre 0 à k de f(x)-(2-k)x
que je noterai : I(0;k)(f(x)-(2-k)x)dx
I(0;k)(f(x)-(2-k)x)dx=I(0;k)(kx-x²)dx=[kx²/2-x³/3](0;k)=k³/2-k³/3=k³/6.

A suivre...

(suite...)

L'aire précédente est exprimée en unités d'aire u.

3) f(x) > 0 ssi x appartient à [0;2].
Donc A' l'aire de la région (E) du plan limitée par les
points d'ordonnée positive de la courbe C et l'axe des
abscisses est égale à A'=I(0;2)f(x)dx
a) A'= I(0;2)(x(2-x))dx=[x²-x³/3](0;2)
A'=4-8/3=4/3 u.
b) A quoi correspond la région (E) ?
Il faut sûrement résoudre une équation du type A(k)=A'/2.

@+
b) Pour quelles valeurs de k la droite (OA) partage t-elle la région
(E) en deux parties égales.