Bonjour à tous, je ne savais pas bien où poster cet exercice un peu spécial il me semble, mais les fonctions sont assez présentes, donc...

Voici l'énoncé de l'exercice dont l'objectif est : "résoudre par deux méthodes différentes un problème d'optimisation". On se doute donc que l'exercice est coupé en deux... mais pour l'instant on se contentera de la première partie Je précise que je suis en série scientifique

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Un récipient a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle ABCD (fig. 1)
Toutes les dimensions de ce récipient sont fixées sauf la longueur CD.
On donne AB=BC=1 et BB'=2 (l'unité étant le mètre) et on cherche la dimension à donner à la grande base [CD] du trapèze ABCD pour que le volume de ce récipient soit maximal.

1ère méthode de résolution :

On appelle H le projeté orthogonal de A sur [CD] (fig 2) et on note x à la longueur HD

1) Justifier que le réel x appartient à l'intervalle [O;1[ (là j'ai rien compris, je ne vois pas quel fonction rattacher à x pour l'intégrer dans un intervalle, est-ce que ca a à voir avec le théorème des valeurs intermédiaires ?)

2) Exprimer l'aire du trapèze en fonction de x. Puis démontrer que le volume de ce récipient en fonction de x est égal à

V(x)= 2(1+x)*(1-x²)

3) Justifier que V est dérivable sur [O;1[ et calculer V'(x)

4) Déterminer pour quelle valeur de x, le volume de ce récipient est maximal.

5) Conclure en donnant la longueur DC pour laquelle le volume est maximal.

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Et voilà ce que j'ai fait :

x = DH donc :

x²= DA²-AH² et x = (DA²-AH²)
AH² = DA²-x²
AH² = h donc : h² = 1-x² et h = (1-x²)

je sais que :

AIRE trapèze = [(B+b)*h]/2      avec B et b les deux bases du trapèze

donc B = AB (transposé) = 1
et b = AB (transposé) + 2x

or x = (DA²-AH²)
.
.
.
donc b = 1+2[(1-AH²)      car DA²=(1)²=1

or : AH² = h = (1-x²)

DONC : AIRE trapèze = [ 1 + (1+2*(1-(1-x²))*(1-x²) ] /2


voilà j'espère que c'est à peu près compréhensible, c'est assez long et j'en suis qu'au début... donc à partir de là, j'aurais aimé qu'on me donne des pistes afin de poursuivre, sans me donner de réponse directement, merci à l'

ps : pour info la seconde méthode est avec la trigo, mais je verrais ca plus tard