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Problème de 1e S : Angles Orientés

Posté par
Sirene 19-04-10 à 23:09

Bonjour à tous,

J'ai actuellement un DNS de Mathématiques à réaliser.
L'un des exercices de ce DNS porte sur un problème d'angles orientés.

En voici l'énoncé :

a est un réel de l'intervalle ]0 ; /4[

1.     a. Démontrer que (cos a + sin a)2 = 1 + sin 2a

        b. Déduisez-en que    \frac{1+sin 2a}{cos 2a} = \frac{cos a + sin a}{cos a - sin a}


2.     Sans calculer cos /8 et cos /12, déduisez de la question précédente que :
        
         \frac{cos pi/8 + sin pi/8}{cos pi/8 - sin pi/8} = 1 + \sqrt{2}               et               \frac{cos pi/12 + sin pi/12}{cos pi/12 - sin pi/12} = \sqrt{3}


Nb :     pi =

Posté par
Hiphigeniere : Problème de 1e S : Angles Orientés 20-04-10 à 00:11

Bonsoir,

1) a) Tu développes le carré et tu utilises la formule : sin2a = 2.sina.cosa

b) Tu utilises le 1)a) et le fait que cos2a = cos²a - sin²a que tu factorises par la formule A² - B² = (A - B)(A + B).

2) Tu utilises le 1)b) en sachant que sin(\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}  et que  sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}  et  cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Posté par
Hiphigeniere : Problème de 1e S : Angles Orientés 20-04-10 à 00:18

Comme je vois que tu écris en Latex, si tu veux avoir ceci : \cos\frac{\pi}{8}, tu tapes \cos\frac{\pi}{8} entre les balises du Latex...

Posté par
Sirenere : Problème de 1e S : Angles Orientés 20-04-10 à 23:01

Bonsoir Hiphigenie,

Les questions 1a) et 1b) ne me posent plus de problème ! Grâce à votre aide je suis parvenu à les finir.

En revanche, concernant la question 2) je ne comprends pas bien votre raisonnement ...

Vous me parlez de \cos\frac{\pi}{4} , de \sin\frac{\pi}{4} ainsi que de \cos\frac{\pi}{6} et de \sin\frac{\pi}{6} alors que la question posée est en rapport avec \cos\frac{\pi}{8} et \cos\frac{\pi}{12}.

Je ne comprends pas bien où vous voulez en venir...

Merci de votre aide


PS : merci pour l'astuce latex également.

Posté par
Hiphigeniere : Problème de 1e S : Angles Orientés 20-04-10 à 23:13

Dans la 1ère égalité, \textrm \frac{\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}} = \frac{1 + \sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos\frac{\pi}{4}}  en utilisant la formule que tu as démontrée en 1) b).

Idem pour l‘autre…

Posté par
Sirenere : Problème de 1e S : Angles Orientés 21-04-10 à 18:58

Bonjour,

Ok pour ce que vous avez dit mais comment montrer que \frac{1+\sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos\frac{\pi}{4}} = 1 +\sqrt{2}  ?

Posté par
Sirenere : Problème de 1e S : Angles Orientés 21-04-10 à 19:07

Non c'est bon pour finir, j'ai réussi à résoudre le calcul.
Il fallait juste remplacer les sinus et les cosinus par leurs valeurs et faire une petite quantité conjuguée à la fin pour obtenir le résultat.

Merci beaucoup pour votre aide Hiphigenie


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