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problème de bijection et de continuité

Posté par jacoby_shaddix (invité) 23-12-04 à 17:08

Bonjour,

On me donne une équation (E) sin(x)=x/2

Il faut que je montre que cette équation possède une seule solution  dans l'intervalle [/2;]

Je sais qu'il faut que j'applique le téhorème de la bijectivité, mais il faut pour cela que ma fonction soit continue, et je n'arrive pas à mettre mon équation sous forme de fonction et a prouver qu'elle est continue.

Pourriez vous m'éclairer sur ce point?
Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 17:26

Bonjour

Si tu poses f(x)=sin(x)-\frac{x}{2}

x\to sin(x) est continue sur [\frac{\pi}{2};\pi]
x\to-\frac{x}{2} est continue [\frac{\pi}{2};\pi]
donc leur somme est continue sur [\frac{\pi}{2};\pi]
c'est a dire f est continue sur [\frac{\pi}{2};\pi]


jord

Posté par jacoby_shaddix (invité)re : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 17:36

a ouai merci ya vraimen defoi je sui un blaireau.

Posté par
Nightmarere : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 17:40

Lol ça arrive a tout le monde des petits écarts ne t'inquiéte pas


Jord

Posté par jacoby_shaddix (invité)re : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 18:15

jai toujours un probleme.
jai calculer la deriver pour de f(x)=sin(x)-x/2
cela donne f'(x)=cos(x)-1/2
En fesant un tableau de valeur et de variation je trouve bien que la fonction f(x) est décroissante sur [/2;] mais je ne trouve pas de solution dans cette intervalle pour ma fonction dérivé donc je ne trouve pas de solution comme on me le demande

Posté par
Nightmarere : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 18:23

Re

pourquoi cherche tu la solution \alpha pour f'(x) ?

Tu as montré que f était strictement décroissante sur [\frac{\pi}{2};\pi]

donc f induit une bijection de \[\frac{\pi}{2};\pi\] sur f\(\[\frac{\pi}{2};\pi\]\)

Or , f\(\[\frac{\pi}{2};\pi\]\)=\[-\frac{\pi}{2};1-\frac{\pi}{4}\]

Donc f induit une bijection de \[\frac{\pi}{2};\pi\] sur \[-\frac{\pi}{2};1-\frac{\pi}{4}\] . 0\in\[-\frac{\pi}{2};1-\frac{\pi}{4}\]
donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans [\frac{\pi}{2};\pi]


Jord

Posté par jacoby_shaddix (invité)re : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 18:54

On me demande la valeur de a 10^-3 près et je trouve 1.895

Pouvez vous me dire si mon resultat et juste?

Posté par
Nightmarere : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 19:13

Bonjour

Je n'ai pas ma calculette graphique à côté de moi mais à priori c'est bon :

sin(1,895)\approx0,9479...
\frac{1,895}{2}=0,9475


Jord

Posté par jacoby_shaddix (invité)re : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 19:21

je vous remercie pour m avoir aidé à résoudre mon problème

Posté par
Nightmarere : problème de bijection et de continuité 23-12-04 à 19:24

Pas de quoi


Bonnes fêtes
Jord


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