Bonsoir.

Le D est à élminier, car si on a par exemple 60 enfants qui ne pratiquent qu'un sport, disons le football, ça en fait 40 restant pour pratiquer les deux autres sports or il y a 50 volleyball donc le nombre maximum est bien en dessous de 70.

Ensuite pour les autres :

60 football, 50 volleyball, 40 basketball, cela fait 150 sports choisis pour 100 élèves.

Pour le A : Si 50 enfants ne pratiquent que l'un des 3 sports, alors il reste 100 sports pour 50 élèves, donc chaque élève restant choisit 2 sports, donc personne ne pratique les 3, donc cette hypothèse est validée.

B : Si 60 enfants ne pratiquent que l'un des trois sports, ont a 90 sports choisis restants pour 40 élèves restants, et si 5 pratiquent les trois sports cela fait 75 sports restants pour 35 élèves. Or si les 35 élèves qui restent choisissent 2 sports, cela fait 70 ce qui ne colle pas.

C : Si 70 enfants ne pratiquent que l'un des 3 sports, alors il reste 80 sports pour 30 élèves, et si 10 enfants pratiquent les 3 sports, il reste donc 50 sports pour 20 élèves. Or si chaque élève restant a choisi 2 sports cela fait 40 donc il en manque 10 ce qui ne colle pas non plus.


J'en conclus que seule la A est bonne.

PS : Si tu n'a pas compris mon raisonnement je peux volontiers réexpliquer plus clairement.

En fait, j'ai essayé de le faire en faisant la technique des ensembles qui se recoupent (3 cercles)
J'ai ensuite élaboré un système d'équations à partir de l'énoncé.
Mais je n'ai pas réussi à le résoudre.
J'ai la réponse aux questions mais je ne connais pas le raisonnement, c'est pourquoi je demande l'aide.
@ Katsuto, merci pour ta réponse, mais après avoir vu les réponses (donc sans raisonnement), ils disent que seuls les items A et D sont vrai , donc que B et C sont faux.
Je pense que dans l'énoncé, quand ils disent 60 pratiquent le football: c'est dans ces 60, des gens qui pratiquent que le football, mais aussi les gens qui pratiquent le football et le volley ou bien le football et le basket. Je ne sais pas après si tu le comprend comme moi ou pas.
Mais sinon, je veux bien que tu me ré-expliques ton raisonnement si ca te ne dérange pas.
Merci encore!

Les A et D sont vrais ? Hum j'ai du aller trop vite pour le D. Parce que sa formulation est bien différente des autres, je me suis dit qu'il était presque à éliminer d'office. De plus, je ne pensais pas que plusieurs réponses pouvaient être possibles, désolé.

Enfin sinon, pour mon raisonnement, alors je réexplique :

On sait que sur les 100 élèves :

-60 pratiquent le football
-50 pratiquent le volleyball
-40 pratiquent le basketball

Cela nous fait donc 100 élèves qui se sont inscrits à 150 sports, il y en a donc qui se sont inscrit à plusieurs sports. La question est donc de savoir : Combien n'ont pris qu'un sport ? combien on pris 2 sports ? Combien ont pris 3 sports ?

En fait des tonnes de possibilités sont possibles, il suffit de faire un système relativement simple, et comme on raisonne en valeurs entières (car les élèves, jusqu'à preuve du contraire, sont entiers ^^), on a un nombre fini de solution.

Le QCM n'a donc pas vraiment comme objectif de résoudre le nombre exact, mais plutôt de vérifier si les solutions qu'il propose peuvent marcher.

On commence donc par la A : si 50 enfants ne pratiquent que l'un des 3 sports, alors aucun ne pratique les trois sports.

Reformulons la question, cela veut en fait dire :

Parmis les 100 élèves, 50 n'ont pris qu'un sport, aucun n'a pris trois sports, (le reste des élèves a donc pris 2 sports).

Voyons si ça marche :

Rappelons que 100 élèves se sont inscrit à 150 sports.
Or si 50 élèves n'ont pris qu'un sport, alors on peut déjà retrancher 50 élèves et retrancher 50 sports.

Cela donne 50 élèves restants qui sont inscrits à 100 sports.

De plus on sait qu'aucun ne fait 3 sports, donc on a toujours 50 élèves pour 100 sports.

Or aucun ne fait 3 sports, et ceux qui n'en font qu'un ont déjà été comptés, donc cela veut dire que tous les élèves restants ont pris 2 sports. Voyons si ça marche :

50 élèves pour 100 sports,   2 sports par élèves, pour 50 élève cela donne bien 100 sports.

Conclusion : La A est validée.

Voyons maintenant pour la B :

Rappelons qu'il y a 100 élèves inscrits à 150 sports.

La B nous dit quoi ? Elle dit : si 60 enfants ne pratiquent que l'un des 3 sports, alors 5 enfants pratiquent les trois sports.

Reformulons la B : 60 enfants ne pratiquent qu'un sport, 5 enfants pratiquent 3 sports, et le reste (donc 100-60-5 = 35 élèves pratiquent 2 sports)

Voyons si ça marche, en appliquant le même raisonnement que ci-dessus :

60 élèves à 1 sport + 5 élèves à 3 sports + 35 élèves à 2 sports = 60 sports + 15 sports + 70 sports = 145 sports

Ah ça ne va pas ça ! On ne cherche pas 145 sports, nous on cherche 150, car les 100 élèves sont inscrit à 150 sports, donc la B ne convient pas.

Voyons maintenant la C :

Pareil, reformulons le "si 70 enfants ne pratiquent que l'un des 3 sports, alors 10 enfants pratiquent les trois sports." en :
70 enfants ne font qu'un sport, 10 enfants font 3 sports, le reste (100-70-10 = 20 enfants font 2 sports)

Voyons si on obtient 150 sports avec ces 100 élèves :

70 enfants à 1 sport + 10 enfants à 3 sports + 20 enfants à 2 sports = 70 sports + 30 sports + 40 sports = 140 sports

On n'obtient pas non plus 150 sports, donc la C ne convient pas.


Voilà j'espère que tu as compris le raisonnement, sinon je peux encore essayer d'expliquer autrement.

PS : Pour la D je vais réfléchir pourquoi elle est vraie.

Bonsoir Ztw et Katsuto.
On pourrait attribuer à chaque enfant une carte avec trois cases : football, volley-ball et basket-ball. Chaque case peut être ou non cochée. Une case cochée correspond à un sport pratiqué par l'enfant.
Il y a 150 cases cochées, dont 60 cases football, 50 cases volley-ball et 40 cases basket-ball.

A : Si 50 enfants ont une seule case cochée, les 50 autres enfants ont en tout 100 cases cochées.
Or ces 50 autres enfants ont chacun au moins deux cases cochées. Ils atteignent les 100 cases en ayant tous exactement deux cases cochées. Si l'un ou l'autre d'entre eux avait trois cases cochées, ce nombre de 100 serait dépassé.
L'affirmation A est donc vraie.

B : Si 60 enfants ont une seule case cochée, les 40 autres enfants ont en tout 90 cases cochées.
Parmi ces 40 autres enfants, soient b le nombre de ceux qui ont deux cases cochées et t le nombre de ceux qui ont trois cases cochées.
b + t = 40; t = 40-b
2b + 3t = 90
2b + 3*(40-b) = 90
120-b = 90
b = 30
t = 40-30 = 10
10 enfants ont trois cases cochées.
L'affirmation B est donc fausse.

C : Si 70 enfants ont une seule case cochée, les 30 autres enfants ont en tout 80 cases cochées.
Parmi ces 30 autres enfants, soient b le nombre de ceux qui ont deux cases cochées et t le nombre de ceux qui ont trois cases cochées.
b + t = 30; t = 30-b
2b + 3t = 80
2b + 3*(30-b) = 80
90-b = 80
b = 10
t = 30-10 = 20
20 enfants ont trois cases cochées.
L'affirmation C est donc fausse.

D : Le nombre d'enfants avec une seule case cochée étant déterminé, le total maximum de cases cochées est réalisé quand tous les autres enfants ont les trois cases cochées.
Si le nombre d'enfants avec une seule case cochée est tel que ce maximum n'atteint même pas 150, alors il y a impossibilité.
Soit s le nombre d'enfants avec une seule case cochée.
Inéquation exprimant l'impossibilité :
s + 3*(100-s) < 150
300 -2s < 150
150 < 2s
s > 75
Le nombre d'enfants avec une seule case cochée ne peut dépasser 75 (au lieu de 70). Il peut très bien y avoir 75 enfants avec une seule case cochée et 25 enfants avec les trois cases cochées.
L'affirmation D est donc fausse.

Bonsoir plumemeteore,

Nous avons des raisonnements analogues et arrivons exactement aux mêmes conclusions, cependant ztw a bien précisé que dans son livre il y a les réponses, et le livre dit que les réponses sont A et D.

Cette situation est donc assez ironique. En effet, on sait que D est vrai, et pourtant on a tous les deux montré que c'était faux ^^

Bonjour,

Je me suis amusé à détailler la colonie

[blank]En respectant l'énoncé voici ma solution

Football seul  25
volley seul    25
basket  seul   5

foot+basket    20
foot+volley    10

basket+volley  10

3 sports        5[/blank]

D)
Pour moi la réponse est vraie, je n'arrive pas à obtenir plus de 60 élevesne pratiqaunt qu'un seul sport

J'aimerais bien voir comment sont répartis les 75 enfants avec un seul sport de plumemeteore...

Ah non je vois

Merci pour vos réponses.
J'irai retravailler cet exo et je verrai si je tombe sur les mêmes résultats que vous.
Merci encore!