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Niveau Maths sup
Problème de primalité
Posté par Kekeee
Bonsoir tout le monde, on nous propose un problème, et tout simplement, je bloque dès la première question... voici l'énoncé:
« Problème
Notation. Si E est un ensemble fini, on note #(E) le nombre d'éléments de E. On pourra utiliser sans démonstration les propriétés suivantes.
Propriété 1.
Si A est un ensemble fini et
si f : A → A est une application injective, alors f est bijective.
Propriété 2.
Si A et B sont deur ensembles finis, A=B si et seulement si A
B et #(A) = #(B).
Dans ce problème on étudie quelques tests de primalité (ce sont des tests pour déterminer si un nombre est premier) que l'on applique aux nombres de Fermat. La partie II est indépendante de la partie I.
Partie I-lemme de Gauss.
On se donne un nombre premier impair p et on pose Fp:=={
}On se donne aussi un entier a premier avec p.
1. (a) Pour tout k 
Fp, montrer qu'il existe un unique élément pk
tel que pk
ka[p] et vérifier que pk 
0.
(b) Donner la liste des pk, kFp,pour a := 3 et p := 23 (seulement dans cette question), sous forme de tableau.
2. (a) Montrer que les entiers a, 2a,..., (p - 1)a sont deux à deux non congrus modulo p.
(b) On donne deux éléments distincts k et k' de Fp. Montrer que pk' n'est égal à aucun des deux nombres 
pk.En déduire l'égalité d'ensembles
{ |pk|, kFp}={ |p1|, |p2|,...,|p(p-1)/2|}=Fp
On pose u:= #({kF, | pk<0}) (u est donc le nombre de pk, kFp, négatifs) et ɛp(a) := (-1)u.
(c) Montrer que a(p-1)/2 ɛp(a)[p]
Indication : On pourra considérer le produit de tous les éléments de Fp
(d) On suppose dans cette question que a = 3 et on suppose qu'il existe m
tel que p=6m+5. Pour tout kFp,
discuter soigneusement le signe de pken fonction de k. Calculer alors u et en déduire que;
ɛp(3) = (-1)m+1. »
Voilà je mettrais la partie 2 une fois la partie 1 finie. C'est déjà très long à écrire...
Merci beaucoup à tous ceux qui prendront de leur temps pour un peu d'aide!
Kekeee
Hello ! Pour la 1 prenons un exemple :
p = 5
A = {-2,-1,0,1,2}
Comprends tu pourquoi tout entier est forcément congru à l'un (et un seul) des éléments de A modulo p?
Bonsoir lionel52 merci pour votre réponse.
Je pense que c'est la définition d'une congruence non?
On peut avoir 0[5] (pour les multiples de 5) ou 1[5], 2[5], 3-2[5] ou encore 4-1[5]
Et lorsqu'on a 5
5[5] on revient à 0.
Donc tout entier est congru à un élément de A et un seul par unicité de ce même entier (ça paraît étrange dit comme ça) modulo 5 (dans cet exemple).
Je serais actif demain matin, je vais me reposer. Merci à demain.
Attention, pour la 1ère question, c'est un peu plus compliqué que ça.
Il ne s'agit pas de trouver k tel que mais
Bonjour ty59847 je crois qu'il ne s'agit pas non plus de trouver k mais de montrer l'existence de pk, et ça, je ne vois pas comment faire
salut
si a est premier avec p alors il possède un inverse modulo p (d'après Bézout)
donc l'application k --> ka est injective ... entre les bons ensembles à préciser ...
puis utiliser les propriétés admises ...
Bonsoir carpediem.
Je suis d'accord pour l'inverse avec Bezout.
Par contre je ne comprends pas pourquoi on peut dire «donc l'application k->ka est injective » et je pense que c'est entre [|-(p-1)/2;(p-1)/2|] et ce même intervalle.
Donc la fonction k->ka est bijective.
Donc il existe un unique pk [|-(p-1)/2;(p-1)/2|] tq pkka[p]
Par l'absurde on montre ensuite que pk0
J'ai l'impression de raconter n'importe quoi... enfin de ne pas être rigoureux. Dites moi si je me trompe