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probleme de primitive

Posté par marionla (invité) 12-02-05 à 15:16

je n'arrive pas à trouver la primitive de lnx/x. Je l'ai simplifier en faisant lnx*1/x mais je ne trouve pas.

Posté par
Nightmarere : probleme de primitive 12-02-05 à 15:19

Bonjour

En posant :
f(x)=ln(x)
on a :
f'(x)=\frac{1}{x}

donc :
\frac{ln(x)}{x}=f'(x).f(x)

On en déduit une primitive :
x\to \frac{1}{2}f^{2}(x)
soit :
x\to \frac{1}{2}ln^{2}(x)


Jord

Posté par
laotzere : probleme de primitive 12-02-05 à 15:35

Bonjour Nightmare et Marionla:
Je suis désolé de m'incruster en plein milieu.
J'ai consulté votre "conversation" et j'aimerais savoir comment on peut avoir l'idée que \frac{ln(x)}{x}=f'(x)f(x)peut servir à calculer une primitive de f...

Peut-être que c'est une coïncidence...
Pour vérifier, pourriez-vous, Nightmare, trouver une primitive de:

f(x)= \frac{ln(x)}{x^2}


Posté par
Belge-FDLEre : probleme de primitive 12-02-05 à 21:44

Salut Laotze ,

Alors, pour l'exemple que tu proposes, je pense qu'une intégration par partie serait plus adéquate. Je ne sais pas si tu les as déjà vu en cours, mais le principe n'est pas très compliqué à comprendre. On l'utilise générallement lorsqu'on veut trouver la primitive d'une fonction qui s'exprime comme le produit de deux fonctions et en utilisant le fait que :

2$\rm~(u.v)'~=~u'v+v'u

Prenons ton exemple, ce sera beaucoup plus simple pour comprendre (du moins, je l'espère ). On veut trouver la primite de la fonction f définie par :

2$\rm~f(x)~=~\frac{ln(x)}{x^2}~~pour~x\in\mathbb{R}_+^*

Bon, alors, le premier pas consiste à se rendre compte que :
2$\rm~f(x)~=~\frac{ln(x)}{x^2}~=~ln(x)\times\frac{1}{x^2}

Jusque là, rien de bien sorcier . Ensuite, on remarque que ln(x) est une fonction que l'on "connait bien". De plus, on remarque que  2$\frac{1}{x^2}  est la dérivée de la fonction  2$\rm~-\frac{1}{x}.
On voit donc ainsi qu'une manière de faire apparaitre ce qui nous intéresse serait de calculer la dérivée de la fonction :

2$g(x)~=~-\frac{1}{x}ln(x)

On a en effet :

2$g'(x)~=~ln(x)[-\frac{1}{x}]'~+~[ln(x)]'(-\frac{1}{x})
2$g'(x)~=~ln(x)[\frac{1}{x^2}]~+~[\frac{1}{x}](-\frac{1}{x})
2$g'(x)~=~\frac{ln(x)}{x^2}~-\frac{1}{x^2}

On voit bien que l'on arrive à faire apparaitre ce qui nous intéresse. Le problème, c'est qu'apparait également le  2$-\frac{1}{x^2}. Quà cela ne tienne ! Éliminons-le. Ici, ce n'est pas très dur, puisque l'on remarque assez facilement qu'une primitive de  2$-\frac{1}{x^2}  est la fonction  2$\rm~x\to\frac{1}{x}.
On a donc :

2$(g(x)-\frac{1}{x})'~=~\frac{ln(x)}{x^2}~-\frac{1}{x^2}-(-\frac{1}{x^2})
2$(g(x)-\frac{1}{x})'~=~\frac{ln(x)}{x^2}

Et voilà, le travail. Une primitive de la fonction f est :

2$\rm~F(x)~=~\frac{1}{x}ln(x)-\frac{1}{x}~=~-\frac{1}{x}(ln(x)+1)

Voili, voiloù .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par
laotzere : probleme de primitive 16-02-05 à 19:09

Bonjour Belge-FDLE:

Merci beaucoup pour ton aide (et en même temps désolé pour le retard..... de 4 jour!!!!!): j'ai eu un "tilt" quand tu m'as dit "intégration par partie"!

Posté par
Belge-FDLEre : probleme de primitive 16-02-05 à 19:29

Salut Laotze ,

Ce fut un plaisir de pouvoir aider, et sinon, ce n'est pas grave du tout pour le retard .

À +


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