1)
Dans le triangle ADC, EG relie le milieu de 2 cotés du triangle. EG est
donc // au troisième coté DC et en vaut la moitié.
On a donc: vecteur(EG) = (1/2).vecteur(DC)     (1)

Dans le triangle BDC, FH relie le milieu de 2 cotés du triangle. FH est
donc // au troisième coté DC et en vaut la moitié.
On a donc: vecteur(FH) = (1/2).vecteur(DC)     (2)

(1) et (2) ->
vecteur(EG) = vecteur(FH)    
-------------------
2)
Erreur d'énoncé:
Il doit s'agir de : vecteur(GF)=1/2 (AB-DC)

Dans le triangle ADB, EF relie le milieu de 2 cotés du triangle. EF est
donc // au troisième coté AB et en vaut la moitié.
On a donc: vecteur(EF) = (1/2).vecteur(AB)     (3)

On a :
Vecteur(EF)=vecteur(EG)+vecteur(GF)   ->
Vecteur(GF)=vecteur(EF)-vecteur(EG)
Avec (1) et (3) ->
Vecteur(GF)=(1/2).vecteur(AB)  -(1/2).vecteur(DC)    
Vecteur(GF)=(1/2).(vecteur(AB) - vecteur(DC))
---------    
3)
Vecteur(EH)=vecteur(EG)+vecteur(GF)+vecteur(FH)
et avec ce qui précède:
Vecteur(EH)=(1/2).vecteur(DC) + (1/2).(vecteur(AB) - vecteur(DC))+(1/2).vecteur(DC)

Vecteur(EH)=(1/2).(vecteur(AB)+vecteur(DC))
----------
4)
On a montré que:
vecteur(EF) = (1/2).vecteur(AB)     (3)
et que
vecteur(FH) = (1/2).vecteur(DC)     (2)
Comme AB // DC par hypothèse, on conclut que:
EF//FH
comme EF et FH ont un point commun (F), les points E, F et H sont alignés.

On montre de manière analogue que les points E, G et H sont alignés
. . .

Et on conclut alors que les points E, G , F et H sont alignés.