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Niveau seconde
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Probleme de seconde

Posté par provortex (invité) 15-12-02 à 20:57

Soit un trapeze ABCD, soit EFGH les milieux respectif de AD, DB,
AC, et BC.

1: demontrer que le vecteur EG = le vecteur FH
2: demontrer que le vecteur FH = 1/2 (AB-DC) (ce sont des vecteurs!)
3: demontrer que EH=1/1 (AB+DC) (ce sont aussi des vecteurs)
4: demontrer que EFGH sont alignes (les points)

Merci de nous repondre dans les meilleurs delais.

Salut.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Probleme de seconde 17-12-02 à 12:15

1)
Dans le triangle ADC, EG relie le milieu de 2 cotés du triangle. EG est
donc // au troisième coté DC et en vaut la moitié.
On a donc: vecteur(EG) = (1/2).vecteur(DC)     (1)

Dans le triangle BDC, FH relie le milieu de 2 cotés du triangle. FH est
donc // au troisième coté DC et en vaut la moitié.
On a donc: vecteur(FH) = (1/2).vecteur(DC)     (2)

(1) et (2) ->
vecteur(EG) = vecteur(FH)    
-------------------
2)
Erreur d'énoncé:
Il doit s'agir de : vecteur(GF)=1/2 (AB-DC)

Dans le triangle ADB, EF relie le milieu de 2 cotés du triangle. EF est
donc // au troisième coté AB et en vaut la moitié.
On a donc: vecteur(EF) = (1/2).vecteur(AB)     (3)

On a :
Vecteur(EF)=vecteur(EG)+vecteur(GF)   ->
Vecteur(GF)=vecteur(EF)-vecteur(EG)
Avec (1) et (3) ->
Vecteur(GF)=(1/2).vecteur(AB)  -(1/2).vecteur(DC)    
Vecteur(GF)=(1/2).(vecteur(AB) - vecteur(DC))
---------    
3)
Vecteur(EH)=vecteur(EG)+vecteur(GF)+vecteur(FH)
et avec ce qui précède:
Vecteur(EH)=(1/2).vecteur(DC) + (1/2).(vecteur(AB) - vecteur(DC))+(1/2).vecteur(DC)

Vecteur(EH)=(1/2).(vecteur(AB)+vecteur(DC))
----------
4)
On a montré que:
vecteur(EF) = (1/2).vecteur(AB)     (3)
et que
vecteur(FH) = (1/2).vecteur(DC)     (2)
Comme AB // DC par hypothèse, on conclut que:
EF//FH
comme EF et FH ont un point commun (F), les points E, F et H sont alignés.

On montre de manière analogue que les points E, G et H sont alignés
. . .

Et on conclut alors que les points E, G , F et H sont alignés.




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