bonsoir a tous
j ai un probleme de suite a resoudre mais je n'y arrive pas merci
pour votre aide. .
voici mon probleme:
on defini deux suite tel ke :
an= (Pan-1 + Qbn-1)/P+Q
et
bn= (Qan-1 + Pbn-1)/P+Q
on supposera P superieur a Q superieur a 0
et b1sup à a1
ennoncé:
montrer ke (an) est croissant et ke bn est decroissant
et ke ces deux suites convergent vers un meme nombre l dont on donnera
l'expression.
voila la bête,
d'avance merci
bonjour,
tout d'abord montrons ceci: pour tout n>=1, an=
pour n=1, c'est fait par hypothèse de l'énoncé,
supposons que pour n, on a an=
p-q>0
p+q>0
et par hypothèse de récurrence, bn-an>=0
donc b(n+1)>=a(n+1)
maintenant, soit un n donné
a(n+1)>=(p*an+q*an)/(p+q)
a(n+1)>=an
donc (an) est croissante.
tu dois faire de même pour (bn).
donc on a:
pour tout n,
an=d'autre part,
b(n+1)-a(n+1)=(p-q)/(p+q)*(bn-an)
on montre par récurrence (que je te laisse le soin de le faire) que
b(n+1)-a(n+1)=((p-q)/(p+q))^n*(b1-a1)
d'autre part, 0
ce qui montre que les suites (an) et (bn) ont la même limites, elles
sont adjacentes.
pour ce qui est de la limite, je te la donne plus tard.
excuse moi, mais je ne trouve pas une expression de l.
désolée
peut-être qu'une autre personne pourra t'aider.
par contre, si tu as un problème dans ce que j'ai écrit, n'hésite
pas.
Une idée peut être :
pour tout n>2
an+bn = an-1 + bn-1
Par récurrence on doit donc pouvoir montrer que
an + bn =a1+b1
comme les suites (an) et (bn) sont convergentes vers
l, la suite (an+bn) converge 2l
et on a donc 2l = a1+b1
d'où l=(a1+b1)/2
De rien, j'avoue que c'est toi qui a fait le sale boulot
(montrer que les deux suites sont adjacentes)
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