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probleme de suite

Posté par gonzo (invité) 10-08-04 à 19:53

bonsoir a tous
j ai un probleme de suite a resoudre mais je n'y arrive pas merci
pour votre aide.         .
voici mon probleme:

on defini deux suite tel ke :


an= (Pan-1 + Qbn-1)/P+Q

et

bn= (Qan-1 + Pbn-1)/P+Q

on supposera P superieur a Q superieur a 0
et  b1sup à a1

ennoncé:

montrer ke (an) est croissant et ke bn est decroissant

et ke ces deux suites convergent vers un meme nombre l dont on donnera
l'expression.

voila la bête,
d'avance merci  

Posté par
muriel Correcteur
re : probleme de suite 10-08-04 à 22:06

bonjour,
tout d'abord montrons ceci: pour tout n>=1, an=par récurrence,
pour n=1, c'est fait par hypothèse de l'énoncé,
supposons que pour n, on a an=b(n+1)-a(n+1)=(p-q)/(p+q)*(bn-an)
p-q>0
p+q>0
et par hypothèse de récurrence, bn-an>=0
donc b(n+1)>=a(n+1)

maintenant, soit un n donné
a(n+1)>=(p*an+q*an)/(p+q)
a(n+1)>=an
donc (an) est croissante.

tu dois faire de même pour (bn).

donc on a:
pour tout n,
an=d'autre part,
b(n+1)-a(n+1)=(p-q)/(p+q)*(bn-an)
on montre par récurrence (que je te laisse le soin de le faire) que
b(n+1)-a(n+1)=((p-q)/(p+q))^n*(b1-a1)

d'autre part, 0donc ((p-q)/(p+q))^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini
ce qui montre que les suites (an) et (bn) ont la même limites, elles
sont adjacentes.
pour ce qui est de la limite, je te la donne plus tard.

Posté par
muriel Correcteur
re : probleme de suite 10-08-04 à 22:25

excuse moi, mais je ne trouve pas une expression de l.
désolée
peut-être qu'une autre personne pourra t'aider.
par contre, si tu as un problème dans ce que j'ai écrit, n'hésite
pas.

Posté par
dad97 Correcteur
re : probleme de suite 10-08-04 à 22:42

Une idée peut être :

pour tout n>2
an+bn = an-1 + bn-1

Par récurrence on doit donc pouvoir montrer que

an + bn =a1+b1

comme les suites (an) et (bn) sont convergentes vers
l, la suite (an+bn) converge 2l

et on a donc 2l = a1+b1

d'où l=(a1+b1)/2

Posté par
muriel Correcteur
re : probleme de suite 10-08-04 à 22:48

merci dad97, je n'y avais pas pensé.

Posté par
dad97 Correcteur
re : probleme de suite 10-08-04 à 22:52

De rien, j'avoue que c'est toi qui a fait le sale boulot
(montrer que les deux suites sont adjacentes)

Posté par gonzo (invité)re : probleme de suite 12-08-04 à 18:21

merci a vous deux c'est vraiment sympas


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