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Niveau seconde
Problème de suite
Posté par Lenit
Bonjour.
Alors voilà petit problème ouvert qui m'est impossible de résoudre et que je dois malheureusement rendre en tant que DM.
Calculer la somme suivante :
(1/√1 + √2) + (1/√2 + √3) + (1/√3 + √4) + ... + (1/√99 + √100)
Bonjour, un terme courant de cette somme peut s'écrire 1/(√k + √(k+1) )
il faut avoir l'idée de multiplier haut et bas par la quantité conjuguée (√(k+1) - √(k) ) ça va donner un (a+b)(a-b) en bas donc un a²-b² qui sera (k+1)-k = 1 donc 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1)-√k
maintenant réécris ta somme en remplaçant chaque terme en utilisant cette formule. Tu vas voir que presque tous les termes se simplifient et qu'il ne va plus rester que le premier et le dernier.
Mince je viens de me rendre compte que le calcul écrit n'est pas bon. Voici le véritable problème :
1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + 1/(√3 + √4) + ... + 1/(√99 + √100)
Glapion @ 29-10-2015 à 18:47
Bonjour, un terme courant de cette somme peut s'écrire 1/(√k + √(k+1) )
il faut avoir l'idée de multiplier haut et bas par la quantité conjuguée (√(k+1) - √(k) ) ça va donner un (a+b)(a-b) en bas donc un a²-b² qui sera (k+1)-k = 1 donc 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1)-√k
maintenant réécris ta somme en remplaçant chaque terme en utilisant cette formule. Tu vas voir que presque tous les termes se simplifient et qu'il ne va plus rester que le premier et le dernier.
Bonjour, un terme courant de cette somme peut s'écrire 1/(√k + √(k+1) )
il faut avoir l'idée de multiplier haut et bas par la quantité conjuguée (√(k+1) - √(k) ) ça va donner un (a+b)(a-b) en bas donc un a²-b² qui sera (k+1)-k = 1 donc 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1)-√k
maintenant réécris ta somme en remplaçant chaque terme en utilisant cette formule. Tu vas voir que presque tous les termes se simplifient et qu'il ne va plus rester que le premier et le dernier.
Excuse-moi mais je ne vois pas bien ce que tu veux dire ^^' Pourrais-tu me donner un exemple chiffré s'il te plait ?
as-tu compris la démonstration de 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1)-√k ?
as-tu remplacé les 1/(√k + √(k+1)) de la somme par √(k+1)-√k ?
Aaaah en relisant pas à pas ton message je viens de comprendre. 1/(√1+√2) = √2-√1 . De même pour les autres.
J'ai ensuite additionné le premier et le deuxième terme ensemble, le troisième et le quatrième et ainsi de suite, ce qui donne : √2 - √1 + √3 - √2 = -1 + √3
√4 - √3 + √5 -√4 = -√3 + √5
-1 + √3 - √3 + √5 = -1 + √5 . Et on fait de même avec le reste.
Ce qui nous reste à la fin -1 + √100 = -1 + 10 = 9 .
La réponse de ce problème est donc 9 .
Un grand merci pour ton aide ! 
Par contre je me demande d'où t'es venue l'idée de multiplier par (√(k+1) - √(k) ) ?
Oui 
Citation :
Par contre je me demande d'où t'es venue l'idée de multiplier par (√(k+1) - √(k) )
Par contre je me demande d'où t'es venue l'idée de multiplier par (√(k+1) - √(k) )
ho ça c'est un réflexe à avoir, dès que tu verras des sommes ou différences de racines dans des limites à trouver ou des équations à simplifier, pense à la quantité conjuguée.