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Problème de trigonométrie (ex. Rallye mathématique)
Bonsoir,
Pouvez vous m'indiquer la marche à suivre pour un exercice, s'il vous plaît?
Dans un bassin en forme de demi cercle, on a tendu trois cordes C1, C2 et C3.
La distance entre C1 et C2 est la même que la distance entre C2 et C3. Les longueurs de ces cordes sont, en mètres, 20, 16 et 8.
Quelle est le rayon du bassin?
J'ai tout d'abors tracé un triangle rectangle inscrit dans le demi cercle et dont la hauteur est la médiatrice du diamètre du demi-cercle; pour pouvoir utiliser la trigonométrie. En effet, on obtient deux angles de 45° dans le triangle obtenu.
On a donc
Il faut donc, si je ne me trompe pas, calculer la longueur de l'hypothénuse.
On a donc hypothénuse2 = 2r2
d'où hypothénuse =
or cos 45° =
Si on simplifie par r, on n'aboutit à rien...
Pouvez-vous m'indiquer la marche à suivre pour calculer le rayon du bassin?
Aurevoir et merci d'avance,
Bcracker 
Pouvez vous m'aider? merci d'avance 
J'ai essayé de trouver un coefficient de proportionnalité mais ça ne marche pas...
Auriez vous une idée de réponse?
merci d'avance,
Bcracker
Bonjour,
la médiatrice du diamètre coupe les cordes en M1, M2 et M3.
En joignant le centre du cercle à une extrémité de chaque corde tu obtiens 3 triangles rectangles.
Appelle x la distance entre C3 et le diamètre, y la distance entre deux cordes et r le rayon. En appliquant 3 fois le th. de Pythagore tu obtiens 3 équations pour tes 3 inconnues.
Il n'y a plus qu'à résoudre.
Bonjour,
j'ai suivi ce conseil et j'ai donc un système à 3 inconnues.
Comme on a appris à ne résoudre que les systèmes à deux inconnues, j'ai commencé à faire des calculs longs et complexes.
Je trouve
Je pense que ce résultats et faux, mais je ne sais pas ce qui ne va pas.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
Aurevoir et Merci d'avance,
Bcracker
Bonjour,
Pour le rayon du bassin (figure plus haut) , je trouve r 29,3 m
Est-ce que quelqu'un peut me dire si c'est juste (ou faux 
)
Merci d'avance,
Bcracker
Quelles sont tes 3 équations ?
Bonjour,
J'ai inversé x et y dans mes notations, mais cela ne change rien.
On a donc
r2 = y2 + 100
r2 = (x + y)2 + 81
r2 = (2x + y)2 + 64
En espérant ne pas m'être trompé,
Bcracker
Bonjour,
Remarque : x est la distance entre deux cordes et y celle entre C3 et le diamètre du demi-cercle.
Merci,
Bcracker
les équations sont plutôt :
r² = y² + 100
r² = (x + y)² + 64
r² = (2x + y)² + 16
en remplaçant r² par y² + 100 on trouve :
36 = x² + 2xy
84 = 4x² + 4xy, soit 42 = 2x² + 2xy, soit 2xy = 42 - 2x²
Alors 36 = x² + 2xy donne 36 = x² + 42 - 2x², soit x² = 6.
A partir de là on trouve facilement y, puis r.
Bonjour,
Si j'ai bien compris, on a donc x =
On sait que 42 = 2x2 + 2xy d'où 24 = x2 + xy
On remplace par la valeur de x :
24 = +
On factorise et on a :
24 = (
)
y
d'où y =
On sait que r2 = y2 + 100
Avec de simples calculs (et à l'aide de la calculatrice , on obtient la valeur de r)
Donc le rayon du bassin est d'environ 10,5 mètres
(auparavant j'avais trouvé r 10,2 m mais c'était faux)
Merci giordano pour ton aide précieuse
Aurevoir
Bonjour,
(Pour les équations, je m'étais juste trompé dans l'énoncé)
Le rayon du bassin est d'environ 10,5 mètres
Merci
Bcracker
Bonjour,
Je trouve autre chose : r = 11,73 m
Le plus simple, dans ce genre de problème, est de prendre comme une des inconnues la valeur médiane.
Ici, considérer les trois hauteurs comme valant :
x+a pour la hauteur maximale,
x pour la hauteur moyenne,
x-a pour la hauteur minimale
Ainsi, on a :
(x-a)²+10²=r²
x²+8²=r²
(x+a)²+4²=r²
la différence (3)-(1) fournit ax=21 => a=21/x que l'on remplace dans (3) par ex :
(x+21/x)²+4²=r²
(x²+21)²/x² + 4² = r²
(2) fournit x²=r²-8² et posons R=r² :
(R-64+21)²/(R-64)+ 16 = R => (R-43)²+16(R-64)=R(R-64) => 6R=825 => R=25*22/4 => r = (5V22)/2
d'où x²=r²-64=294/4 => x=(V294)/2 et a=21/x => a=42/V294
Philoux
Bonjour,
Merci Philoux pour cette réponse.
En fait je l'avait fait d'une autre manière en résolvant le système d'équation par soustraction.
Je trouve y =
d'où r =
En effet, à la fin je trouve r
Merci de me l'avoir rappelé.(il y avait en effet plusieurs manière de résoudre cet exercice )
Aurevoiret merci
Bcracker
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