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Problème distance à une parabole, fonction
Bonjour à tous! Voilà je bloque sur un problème depuis quelques temps, merci d'avance de votre aide!
Dans un repère orthonormal, on considère la parabole P d'équation y=x² et le point A de coordonnées (3;0). L'objectif est de calculer la distance de A à la parabole P.
a.Conjecturer le résultat à l'aide de Gogebra
b.Prouver le résultat en étudiant une fonction bien choisie.
a)ci joint la figure geogebra, je peux conjecturer que la distance est environ égale à 4.
b)J'ai créé un point B(x;x²) et utilisé la formule de la distance pour AB: AB=
(x²-6x+9+x4)
J'aurais envie de dériver cette fonction, même une dérivée seconde, mais en réalité je ne sais pas où cela me mène... merci d'avance
Bonjour,
Lorsque f est positive sur un intervalle , f et f ² ont les mêmes variations.
Etudie les variations de g définie par g ( x ) = x^4 + x² - 6 x + 9.
La dérivée de g est une fonction polynôme de degré 3 qui a une racine " évidente " .
Merci, j'ai donc une dérivée g'= 4x3 +2x-6
Dois-je étudier la valeur pour laquelle la distance est minimale? ce qui correspondrait à la distance du point A à la parabole? Je peux utiliser le discriminant pour un polynôme de degré 3?
Il s'agit d'étudier le signe de la dérivée g '.
Les formules pour un polynôme de degré 3 ne sont pas les mêmes que pour un polynôme de degré 2 et elles ne sont pas au programme de l'enseignement secondaire en France.
Il y a différentes façons de s'en sortir mais cela dépend de ce que tu as peut-être vu en classe.
On peut calculer g''(x) , étudier son signe , en déduire les variations de g '.
Remarquer que g ' ( 1 ) = 0 , en déduire le signe de g ' puis les variations de g.
On peut effectuer un calcul afin de factoriser.
L'astuce consiste à essayer de mettre ( x - 1 ) en facteur.
Cette manière de faire est notamment utilisée en Roumanie.
4 x 3 + 2 x - 6
= ( 4 x 3 - 4 x ² ) + ( 4 x ² - 4 x ) + ( 6 x - 6 )
= 4 x ² ( x - 1 ) + 4 x ( x - 1 ) + 6 ( x - 1 )
= ( x - 1 ) ...
On peut aussi soi-disant utiliser un logiciel de calcul formel !
Il existe d'autres méthodes mais elles ne font plus partie des programmes.
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