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Problème : droites et barycentres dans l'espace

Posté par
Plancket 04-05-08 à 00:01

Bonjour tout le monde !

J'ai un petit problème avec cet exercice :
on considere le cube ABCDEFHH.
O1 et O2 sont les centres des carrés ABCD et EFGH et I est le centre de graviter de EBD
Soit m un nombre reel et Gm le barycentre du systme
{(E,1)(B,1-m)(G,2m-1)(D,1-m)}

1) Verifier que G0=A .En deduire  que A I G sont aligner
2)Demontrer que vecteur AGm=m*vecteur AO2
en deduire l'ensemble des pts Gm lorsque m parcourt l'ensemble des nbr reel.
3)Verifier que A,Gm,E,O1 sont coplanaires.
Determiner la valeur de m pour la quelle Gm se trouve sur la droite (EI)


Je bloque sur la question 3 "Determiner la valeur de m pour la quelle Gm se trouve sur la droite (EI)" ... je n'ai vraiment aucune idée de ce que je dois faire... pouvez vous me donner la piste à suivre ?

Posté par
Groyre : Problème : droites et barycentres dans l'espace 04-05-08 à 03:20

Bonjour

Peux-tu nous donner ce que tu as fais précédemment.
Merci

Posté par
PlancketBonjour 04-05-08 à 18:10

Voici ce que j'ai fait :

1) G0, barycentre de (E;1), (B;1), (G;-1), (D,1),
donc on a
\vec{G_0E} + \vec{G_0B} - \vec{G_0G} + \vec{G_0F} = \vec{0}
Donc par Chasles ( je ne mets pas les détails ? )
On arrive à \vec{G_0A} = \vec{0}
Donc G_0 = A

2) Ici, j'ai encore utilisé Chasles, avec la sensation de la jouer "bazooka" ...
Pour tout point M du plan, on a ( par relation de réduction des sommes vectorielles )

2\vec{MG_m} = \vec{ME} + (1-m)\vec{MB} + (2m-1)\vec{MG} + (1-m)\vec{MD}

Plaçons M en A
2\vec{AG_m} = \vec{AE} + (1-m)\vec{AB} + (2m-1)\vec{AG} + (1-m)\vec{AD}
2\vec{AG_m} = \vec{AE} + \vec{AB} - m\vec{AB} + 2m\vec{AG} -\vec{AG} + \vec{AD} - m\vec{AD}
2\vec{AG_m} = \vec{AE} + \vec{AB} -\vec{AG} + \vec{AD} -m\vec{AB} + 2m\vec{AG} - m\vec{AD}

Or \vec{AE} + \vec{AB} -\vec{AG} + \vec{AD} = \vec{0} ( cf 1) )
On a alors
2\vec{AG_m} = -m\vec{AB} + 2m\vec{AG} - m\vec{AD}
2\vec{AG_m} = m(2\vec{AG} - (\vec{AB} +\vec{AD})

Or -(\vec{AB} +\vec{AD}) = -\vec{AC} = -\vec{EG}
et -\vec{EG} = - 2\vec{O_2G}

2\vec{AG_m} = m(2(\vec{A0_2} + \vec{0_2G}) - \vec{EG})
2\vec{AG_m} = m(2\vec{A0_2} + 2\vec{0_2G} - 2\vec{O_2G})
2\vec{AG_m} = m(2\vec{A0_2})
\vec{AG_m} = m\vec{A0_2}

( bon, je débute avec tex, j'espère que c'est bien )
M est un réel, donc \vec{AG_0} et \vec{AG} sont colinéaires, ils ont le point A en commun, donc les points A, Gm et O2 sont alignés : j'en déduis que Gm se promène sur la droite  (AO2)

3) Dans le plan AEG
Je sais que O2 appartient à (EG), donc la droite (AO2) appartient à EAG. or Gm appartient à (AO2), donc Gm appartient à AEG.
En outre, O1 appartient à (AC), et (AC)//(EG), et A appartient à AEG, donc, (AC) appartient à AEG, et donc 01 appartient à AEG, donc les points A, E, Gm et O1 appartiennent au même place (AEG), donc ils sont coplanaires.

Voilà ! J'espère ne pas avoir fait trop d'erreurs en recopiant ...

Posté par
Plancketerreur 04-05-08 à 18:13

J'ai fait une erreur, au début, il ne faut pas lire
\vec{G_0E} + \vec{G_0B} - \vec{G_0G} + \vec{G_0F} = \vec{0}
Mais
\vec{G_0E} + \vec{G_0B} - \vec{G_0G} + \vec{G_0D} = \vec{0}

Posté par
PlancketUn peu d'aide ? 09-05-08 à 16:23

Je me permets de vous relancer


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