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probleme fonction exponentielle

Posté par
bambino28000 27-02-17 à 19:09

Soit f la fonction définie sur un intervalle R par:
f(x) = (x+2)/e^x
On note Cf la courbe représentative de f et T la tangente à Cf au point d'abscisse A.

1.a Calculer la limite de f en - l'infini
    b. Calculer la limite de f en + l'infini
Quelle conséquence graphique peut-on en déduire
    c. Etudier le sens de variation de la fonction f
      d. determiner une equation de la tangente C

L'objectif des questions suivantes est d'étudier la position de Cf par rapport à T

2. Vérifier que f(x)-(-x+2) est du signe de x+2+(x-2)e^x

3. Soit g la fonction definie sur R par g(x) = x+2+(x-2)e^x
Calculer les limites de g en - l'infini et en + l'infini

4.a Démontrer que, pour tout réel x:
   g'(x)=1+(x-1)e^x

   b. on note g" la derive de la fonction g'
        Démontrer que g"(x) est du signe de x
   c. construire le tableau de variation de g'
    d. en deduire le signe de g'(x) sur R

5.a. demontrer que 0 est l'unique solution de l'equation g(x)=0
b. determiner le signe de g(x) sur R
6. en deduire la position de Cf par rapport a T

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:10

Bonsoir, qu'as-tu fait ?

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:14

bonsoir, j'ai vu que la limite en - l'infini est une forme indeterminer mais je n'arrive pas a la lever

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:20

f(x) = \dfrac{x+2}{e^x}

\lim_{x\to -\infty} e^x = 0

\lim_{x\to -\infty} x+2 = -\infty

Il n'y a pas de forme indéterminée..

Il y en a une en + infini par contre et il faut utiliser une croissance comparée.

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:22

Ah merci mais j'ai une question svpla fonction expo n'est elle pas toujours croissante ?

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:24

Si pourquoi ?

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:28

Comme lim x+2 = +l'infini quand x tend vers + l'infini
Et que lim e^x= + l'infini quand x tend vers + l'infini
Ainsi nous sommes en prénce d'une forme indeterminee

Pour lever l'indetermination l'infini sur l'infini on peut factoriser le numerateur et le denominateur par e^x puis simplifier l'expression obtenue

Pour tout réel x, e^x (x/e^x+2/e^x)     /      e^x(1)

lim e^x quand x tend vers + l'infini = + l'infini
mais par contre apres je bloque

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:30

f(x) = \dfrac{x+2}{e^x} = \dfrac{x}{e^x} + \dfrac{2}{e^x}

Or \lim_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty

Donc par inverse \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0

Je te laisse conclure..  

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:38

comme lim de 2/e^x = -l'infini quand x tend vers l'infini
et que lim
euh probleme c'est faux si je continu la ?

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:40

\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{e^x} = 0

Il serait tant d'apprendre son cours.. (et de préciser + ou - infini et non pas simplement l'infini ça ne veut rien dire ! )

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:44

je suis un eleve avec des difficultes et incapacties physiques dsl.
Donc lim (x+2)/e^x quand f tend vers + l'infini = 0

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:49

bambino28000 @ 27-02-2017 à 19:44

je suis un eleve avec des difficultes et incapacties physiques dsl.
Donc lim (x+2)/e^x quand x tend vers + l'infini = 0


Oui.

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:53

J'ai eu bon ?
La conséquence graphique que l'on peut en déduire est Cf admet pour asymptote la droite londa d'équation y=x ??

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:55

Pour résumer,

1)a) \lim_{x\to -\infty} \dfrac{x+2}{e^x} = -\infty

1)b) \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x+2}{e^x} = 0

Pour la conséquence graphique, pense à une certaine asymptote..

1)c) Dérivé

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:56

Pour la phrase, c'est la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe au voisinage de + .

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:57

quel asymptote je comprends ?

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:58

bambino28000 @ 27-02-2017 à 19:53

J'ai eu bon ?
La conséquence graphique que l'on peut en déduire est Cf admet pour asymptote la droite londa d'équation y=x ??


Tu as compris l'idée principal mais c'est ma rédigé.

Rédige le comme ça :

StormTK9 @ 27-02-2017 à 19:56

Pour la phrase, c'est la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe au voisinage de + .

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 19:58

c'est mal* rédigé.

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:03

Pour etudier le sens de variation de la fonction f je n'arrive a inserer un tableau mais je pense que de - l'infini jusqu'a 0 la courbe cf est croissante et de 0 à + l'infini la courbe la decroit

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:06

1)d
On sait que une tangente en A d'abscisse a s'écrit
y= f'(a)(x-a)+f(a)

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:26

puis (je continuer ou c'est faux ?

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:32

Commence déjà par me donner la dérivée de la fonction.

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:33

svp ? [strike][/strike]

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:36

ah oui c'est vrai f=u/v
avec u(x) = x+2                   v(x)= e^x
            u' (x) = 1                        v'(x)= e^x
=(e^x-xe^x+2e^x) / (e^x)^2

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:42

OK donc ça te donne :

f'(x) = \dfrac{e^x - e^x(x+2)}{(e^x)^2}

f'(x) = \dfrac{e^x(1-(x+2))}{(e^x)^2}

f'(x) = \dfrac{e^x(-x-1)}{(e^x)^2}

Maintenant tu étudies le signe de cette dérivée en sachant qu'elle a le même signe que -x-1

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:46

-x-1=0
-x=1
x=-1
?

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:52

Oui et ensuite signe d'une fonction affine..

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 20:53

je comprend sa fait y y=-x je suis perdu

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:01

\begin{array} {|c|cccccc||} x & -\infty & & -1 & & +\infty & \\ {signe de -x-1}&||& + & 0 & - &&\\ {variation de f} & || & \nearrow& 0 & \searrow& & \end{array}

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:04

aj j'ai compris merci je suis tellement stresse que je fais meme pas attention a ces choses simples.

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:07

Pour la suite tu t'en sors ?

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:08

pour la tangente
f'(a)=0=-1
f(a)=0=2
donc:  y = -1(x-0)+2
                     y= -x+2

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:09

je suis dsl je peine grave mais je comprends mieux avec vos explications mais j'aimerai que vous m'aidiez si cela ne vous derange pas surtout pour votre temps

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:09

ça me semble bon au vu de la suite des questions qui te sont posées mais il manque des informations dans ta question 1)d).

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:10

Pour la 2) calcule f(x) - (-x+2)

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:12

ma question 1) d est fausse ? pouvez mexpliquez car je sais que je redige mal

pour la 2)
on sait que f(x) = (x+2)/e^x
donc on remplace mais je tombe sur un truc que je n'arrive pas a resoudre:
(x+2)/e^x - (-x+2)

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:15

Réduis au même dénominateur et tu vas retomber sur ce qu'il te donne dans l'énoncé.

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:18

je vois pas comment

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:21

\dfrac{a}{b} + c = \dfrac{a}{b} + \dfrac{bc}{b} = \dfrac{a+bc}{b}

On apprend ça au collège quand même..

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:22

oui je sais mais j'arrive pas appliquer avec le e^x j'essaye sur mon brouillon je retombe par sur ce qui est demande

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:22

Poste moi ce que tu as fait je te montrerai où tu as faux.

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:26

(x+2)/e^x - (-x+2)e^x

equivaut  x+2-(-x+2)e^x   /  e^x

equivaut   x+2+(x-2)e^x  / e^x

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:34

Bah c'est impeccable, tu as donc :

f(x) - (-x+2) = f(x) + x - 2 = \dfrac{x+2}{e^x} + x - 2 = \dfrac{x+2 + e^x(x-2)}{e^x}

Or e^x > 0

Donc f(x) - (-x+2) a le même signe que x+2 + e^x(x-2)

Ce qu'il te demande de prouver dans l'énoncé

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:42

ah j'ai réussi

3) g(x) = x+2+(x-2)e^x
   Comme lim e^x= 0 quand x tend vers - l'infini
    Et lim x-2 = - l'inifini
     donc lim (x-2)e^x = 0

pour + l'infini
comme lim x+2 = + l'infini
et lim x-2= + l'infini
et lim e^x = + l'infini quand x tends vers + l'infini
lim g(x) quand x tend vers + l'infini est + l'infini

je suis pas sure

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:48

OK pour +

Pour - c'est faux.

Personnelement j'aurai développé pour faire apparaître une croissance comparée.

f(x) = x+2 + xe^x - 2e^x

\lim_{x\to -\infty} x+2 = -\infty

\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0 par croissance comparée

\lim_{x\to -\infty} -2e^x = 0

Donc par addition \lim_{x\to -\infty} x+2 + e^x(x-2) = -\infty

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:56

ah j'ai compris mon erreur.

pour la 4 j'ai fait que ca par contre g'(x)=1+(x+2)e^x
mais je sais comment fo faire pour derivve la parenthese avec l'expo faut il faire comme un produit ou pas ?

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 21:58

Oui pour g(x) utilise la dérivée de uv

(uv)' = u'v + uv'

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 22:04

je trouve sa ùais c'est faux

u(x)=x-2        v(x)=e^x
u'(x)=1            v'(x)= e^x

g'(x)= 1+1(e^x)+(x-2)e^x
          = 1+e^x(x-2)e^x

Posté par
StormTK9re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 22:06

StormTK9 @ 27-02-2017 à 21:58



(uv)' = u'v + uv'

Posté par
bambino28000re : probleme fonction exponentielle 27-02-17 à 22:06

euh comment ca je vois pas ?

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