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Probleme Montrer que f admet au moins un point fixe
Bonjour a tous, je rentre en premiere année de prépa HEC et en tant que bon élève, je travaille les maths que notre prof nous a donné pour les vacances^^
Voici l'énoncé:
Soient a et b deux réels tels que a < b
Soit f: [a,b]->[a,b] continue sur [a,b].
Montrer que f admet au moins un point fixe.
Dans un premier temps je ne comprends pas la signification de la fleche, du moins je n'en suis pas sur, je me demandais si cela voulais dire que la fonction a son intervalle d'image compris entre a et b ?
Sinon, pour répondre a la question, je pose g(x) tel que g(x)= f(x)-x en cherchant g(x) =0
Le probleme c'est qu'avec les éléments de l'énoncé je n'ai aucune valeur de ce fait je suis bloqué sur : g(a)=f(a) -a
et g(b)= f(b) -b
Je n'ai pas tellement avancé me direz vous ^^
Du coup je ne sais pas comment démontrer que g(a) et g(b) sont de différents signes!
Merci d'avance de vos réponses.
a
Bonjour 
Oui ta fonction est à valeurs dans [a;b].
Tu as donc f(a)
a et f(b)
b c'est-à-dire g(a)0 et g(b)0.
A toi...
Bonjour,
Alors pour la flèche, cela signifie que les images par f des nombres dans l'intervalle [a;b] se trouvent eux-aussi dans [a;b]. En gros:
Alors, un conseil: travailler avec un schéma. Et tu trouveras certainement le raisonnement à suivre
Merci pour votre aide
Donc je pense savoir comment faire la suite : théoreme des valeurs intermédiaires, étant donné que la fonction g(x) est continue on a un point c tel que g(c)=0 ce qui donne ensuite f(c) = c donc un point fixe admis en c .
Est-ce bon ?
Le probleme c'est que je ne comprends pas pourquoi f(a) a et pourquoi f(b) b . Sur un intervalle [0,1] je comprends mais avec les a et les b :s
Lis ce que j'ai écrit en TeX... Et tu comprendras.
Question subsidiaire simple, pourquoi g est-elle continue?
F(x) est continue sur [a,b], la fonction x est continue sur [a,b], g(x) = f(x) -x , g(x) étant la difference de deux fonctions continues, alors g(x) est continue ?
^^, c'est bon j'ai compris pourquoi f(a) > a et f(b)>b , a et b sont respectivement minimum et maximum de f(x) donc f(x) est compris entre a et b ce qui implique que f(x) est forcément a et b.
merci beaucoup de votre aide
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